为什么这种插入堆比插入未排序列表更快？

Question

在我的堆和未排序列表中插入 100000000 个元素后，似乎堆插入实际上更快（12 秒对 20 秒）。为什么是这样？我相信堆插入是O(logn)，而未排序的列表插入是O(1)。我还注意到我的堆插入实现实际上并没有随着输入的数量而扩展。这也让我感到困惑。

这是我运行的代码：

int main ()
{
    clock_t unsortedStart;
    clock_t heapStart;

    double unsortedDuration;
    double heapDuration;

    int num_pushes = 100000000;
    int interval = 10000;

    ofstream unsorted ("unsorted.txt");
    ofstream heap ("heap.txt");

    UnsortedPQ<int> unsortedPQ; 
    HeapPQ<int> heapPQ; 

    unsortedStart = clock();

    for (int i = 0; i < num_pushes; ++i)
    {
        if (i % interval == 0) {
            unsortedDuration = ( clock() - unsortedStart ) / (double) CLOCKS_PER_SEC;
            unsorted << unsortedDuration << " " << i << endl;
        }

        unsortedPQ.insertItem(rand() % 100);
    }

    heapStart = clock();
    for (int i = 0; i < num_pushes; ++i)
    {
        if (i % interval == 0) {
            heapDuration = ( clock() - heapStart ) / (double) CLOCKS_PER_SEC;
            heap << heapDuration << " " << i << endl;
        }
        heapPQ.insertItem(rand() % 100);
    }
    return 0;
}

这是插入的堆实现（使用std::vector）：

template <class T>
void HeapPQ<T>::insertItem(T data) { 
    //insert into back of heap (std::vector)
    dataArray.push_back(data);
    int i = dataArray.size() - 1;

    //sifts the inserted element up
    while (i != 0 && dataArray[(i - 1) / 2] > dataArray[i]) {
        swap(dataArray[i], dataArray[(i - 1) / 2]);
        i = (i - 1) / 2;
    }
}

这是插入的未排序列表实现（使用std::list）：

//pushes element to the back of a std::list
template <class T>
void UnsortedPQ<T>::insertItem(T data) { dataList.push_back(data); }

Answer 1

堆中的插入是O(logn)，这意味着每次插入最多可能需要O(logn) 步骤。这并不意味着它必须这样做。

在您的示例中，插入元素的平均成本为O(1)。为什么？

为简单起见，假设您仅以随机顺序插入 0a 和 1s（在您当前的版本中，仅插入数字 0..99 (rand() % 100) - 计算更复杂，但行为保持不变）。插入2*n元素后，堆中大约有n0s和n1s，堆如下所示：

                                 0
                                0 0
                               00 00
                          ...............
                         0 0 0  0  0  0  0
                       11 11 11 11 11 11 11

所以基本上，1s 都在最后一级 k 和 0s 都在最后一级 0..k-1。

1. 如果插入1，则无事可做（上面没有2s）。
2. 如果插入0，则最多有一个交换（1s 可能在最后一级的上一级，但在上一级）。

平均而言，我们只需要 0.5 交换而不需要 k。

具有相同的渐近运行时间，这完全取决于插入向量和列表的（摊销）成本。该列表似乎更慢（我的假设是，对于每个插入，它需要通过new 在堆上分配一个元素，这是一个相当缓慢的操作。成本取决于其他因素，例如插入的大小对象，因此可能会有所不同，哪个更快）。

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让我们仔细看看您的案例，其中数字是由统一分布[0..99] 生成的。在n>>100 插入之后，我们将遇到以下情况（涉及一些挥手，但要点应该清楚）：

1. 堆的最后一层（k-th）有n/2元素，由数字50..99组成。因此，对于 50% 的可能数字（即50..99），不需要移位。
2. 堆的倒数第二级 (k-1-th) 具有 n/4 元素，由数字 25..49 组成。这意味着 25% 的可能数字恰好需要 1 个班次。
3. 级别k-2 具有n/8 元素并由数字13..24 组成。
4. log 100/log 2 以上的关卡里面只有0s。所以可能的最大移位数是m=log 100/log 2，独立于n - 堆中的元素数。

因此，插入的最坏情况成本为log 100/log 2，平均成本更小：

E(insertion)=0*1/2+1*1/4+2*1/8+...<=1.0

即平均而言，我们每次插入的班次少于 1 次。

注意：这并不意味着在堆中插入的摊销成本为O(1) - 如果您不按随机顺序插入数字，而是首先插入99s，然后是98s，.. .，然后0s 每次插入的费用为O(log n)。