找到第 k 个好数字

Question

最近，在一次竞争性编码考试中，我得到了这个问题 -

一个好的数字是数字之和可以被 5 整除的数字。例如 - 5 (5), 14 (1+4), 19(1+9), 23(2+3)

问题是 - 为您提供一个整数 n 和另一个整数 k，您必须找到大于 n 的第 k 个好数。

约束 - 1<k<10^9

样本测试 1 -

input: n = 6, k = 5
output: 32
Explanation: After 6 good numbers are  - 14, 19, 23, 28, 32 (5th is 32)

样本测试 2 -

input: n = 5, k = 1
output: 14
Explanation: 5 is 1st good number but we need greater than 5 so ans is 14

我已经尝试过使用本机方法，即对于每个大于 n 的数字，检查它是否良好并循环直到我找到 k 个好的数字，这是我的代码 -

def solve(n,k):
    n+=1
    count = 0
    while count<k:
        if sum(map(int,str(n)))%5==0:
            count+=1
        n+=1
    return n-1

但是上面的代码给了我 TLE，如何以更好的时间复杂度来做，我在网上搜索了类似的问题，但找不到，帮助。

Answer 1

让我们从一个简单的问题开始：

1. 我给你一个由五个连续数字组成的列表。这些数字中有多少可以被5整除？ （我不是在谈论数字的总和。只是数字，比如 18、19、20、21、22。

没问题吧？所以一个稍微不同的问题：

1. 在十个连续数字的列表中，有多少个可以被 5 整除？

仍然很容易，不是吗？现在让我们看看你的“好”数字。我们将首先介绍函数 digit_sum(n)，它是 n 中数字的总和。现在，我们不需要编写那个函数；我们只需要知道它的存在。还有一个简单的问题：

1. 如果 n 是一个不以数字 9 结尾的数字并且 s 是 digit_sum(n )，什么是digit_sum(n+1)？ （如果不是很清楚，请尝试几个数字。）（额外问题：为什么最后一个数字是 9 很重要？或者换句话说，为什么最后一个数字不是 9 无关紧要？ 9 有什么特别之处？）

好的，差不多了。让我们把这两个想法放在一起：

4. 假设 n 以 0 结尾。digit_sum(n)、digit_sum( n+1), digit_sum(n+2), ... digit_sum(n+9) 能被 5 整除吗？ （见问题 2）。

这是否有助于您找到一种快速计算 n 之后的第 k 个好数字的方法？希望答案是肯定的。现在你只需要概括一下。

Answer 2

也许你的数字算法太耗时了？试试这个：

def digits(n):
  sum = 0
  while n:
    n, r = divmod(n, 10)
    sum += r
  return sum
  
def solve(n,k):
  n+=1
  count = 0
  while count<k:
    if digits(n)%5==0:
      count+=1
    n+=1
  return n-1

这仍然是一个简单的解决方案，您始终可以离线运行它并提交一个查找表。

这里是这个序列的链接：http://oeis.org/A227793

Answer 3

这是一个数字动态程序，它可以回答从 1 到参数k 可以找到多少个这样的数字。该函数使用O(num_digits) 搜索空间。我们可以使用它通过二分搜索来搜索kth 好的数字。

这个想法通常是在ith 位置包含数字d 并且到目前为止具有mod1 前缀mod 5 的好数字的数量等于有效数字后缀的数量有互补模组mod2，所以(mod1 + mod2) mod 5 = 0。

JavaScript 代码与蛮力比较：

function getDigits(k){
  const result = [];
  while (k){
    result.push(k % 10);
    k = ~~(k / 10);
  }
  return result.reverse();
}

function g(i, mod, isK, ds, memo){
  const key = String([i, mod, isK]);
  
  if (memo.hasOwnProperty(key))
    return memo[key];
    
  let result = 0;
  const max = isK ? ds[i] : 9;
    
  // Single digit
  if (i == ds.length-1){
    for (let j=0; j<=max; j++)
      result += (j % 5 == mod);
    return memo[key] = result;
  }
  
  // Otherwise
  for (let j=0; j<=max; j++){
    const m = j % 5;
    const t = (5 + mod - m) % 5;
    const next = g(i+1, t, isK && j == max, ds, memo);
    result += next;
  }
  
  return memo[key] = result;
}

function f(k){
  if (k < 10)
    return (k > 4) & 1;
  
  const ds = getDigits(k);
  const memo = {};
  let result = -1;
  
  for (let i=0; i<=ds[0]; i++){
    const m = i % 5;
    const t = (5 - m) % 5;
    const next = g(1, t, i==ds[0], ds, memo);
    result += next;
  }
  
  return result;
}

function bruteForce(k){
  let result = 0;
  //let ns = [];
  
  for (let i=1; i<=k; i++){
    const ds = getDigits(i);
    const sum = ds.reduce((a, b) => a + b, 0);
    if (!(sum % 5)){
      //ns.push(i);
      result += 1;
    }
  }
  //console.log(ns);
  return result;
}

var k = 3000;

for (let i=1; i<k; i++){
  const _bruteForce = bruteForce(i);
  const _f = f(i);
  if (_bruteForce != _f){
    console.log(i);
    console.log(_bruteForce);
    console.log(_f);
    break;
  }
}

console.log('Done.');