有效地模拟滚动加权骰子（或遍历加权图），并频繁更新

Question

我有一个加权的有向图，它包含大约 20,000 个节点。

1. 给定图中的一个节点，我以与相对权重相关的概率随机选择一个相邻节点。
2. 每次选择后，我都会收到有关选择是好是坏的反馈，并更新网络。例如，在一个错误的选择之后，我会降低指向所选节点的所有边的权重。

我学习了yesterday alias method 用于模拟滚动加权骰子，这与选择一个相同（每个节点是一个加权骰子，边对应于其他节点）。一卷是高效的，但更新权重不是；别名方法可能不合适，因为我将更新比我滚动的更多的骰子！

我应该使用哪种数据结构，允许频繁更新，以及哪种算法最适合做出选择？

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一些想法/笔记：

• 我可以通过记录每次权重调整来减少更新，然后仅在必要时实际更新节点/模具（即直接在滚动之前）。但我仍然会为 每个 卷预先计算一次别名数据。
• 相反，我可以简单地按原样存储图形（这样更新成本很低）并放弃别名方法。我会在每次滚动之前即时计算相对权重（二进制搜索在这里有效）。
• 动态计算相对权重的另一个好处是我可以将每个节点的“全局权重”分解出来，以进一步减少更新。然后，一个错误的选择将导致只有 2 次更新：传入边权重和节点的全局权重。
• 添加：也许有一些介于两者之间的东西：一种在数据结构中保持局部相对权重的方法（例如树或别名方法），然后在每次滚动期间将它们与“全局权重”动态合并。

事实是，在实践中，我不需要经常做出选择（每分钟不超过一次），所以我不需要 最有效的解决方案。但这是一个有趣的项目，我有兴趣找到理论上的最佳解决方案。

Answer 1

我认为您可以使用 log(k) 复杂度来做到这一点，其中 k 是骰子中的面数。

对于一个特定的节点，让 p1, p2, ..., pk 是相对概率。令 p1+p2,...,+pk = p。

用这些相对概率构造一个树结构作为叶子。每个非叶节点的父节点是其子节点的相对概率之和。要“掷骰子”，请在 0 和 p 之间绘制一个随机值，然后沿着它穿过树。当你想更新骰子面的相对概率时，只需改变相应的叶子节点值并通过树向上传播即可。

通过这种方式，您可以选择一个具有一个随机数的随机值，其中需要 log(k) 个步骤来找到与该随机数对应的叶子，并且当您更新一个叶子时，需要 log(k) 时间来更新树.

这是一个非常简单的解决方案描述，如果您需要完整的描述，请告诉我。我确信它有效，但不确定这是否足以满足您的需求。

总结一下，这个算法需要： 1. 0到p之间只有一个随机数 2.“掷骰子”（即找到下一个节点）的 O(log(k)) 复杂度，其中 k 是骰子中的面数 3. O(log(k)) 来“更新给定节点的骰子”。如果原始节点有 m 条边，则复杂度为 O(log(k1))+O(log(k2))...O((km)) 其中 k1, k2, ... km 是相邻节点的连通性节点。

====Tree Example====

如果骰子有 4 个面且相对概率分别为 1:50、2:80、3:20、4:70，则按如下方式构建树：

          220
       /       \
    130         90
   /   \      /    \
 50    80    20    70
  |    |     |      |
  1    2     3      4

生成一个0到220之间的随机数v。如果是v=100：走左边路线（因为10080）更新v = v-80 = 20. 由于我们在叶子声明 o/p 即 2

如果 v=210: left and v=v-130=80, left v=v-70=10, return leaf=4

如果 4 变为 60，则将 70 变为 60，将 90 变为 80，将 220 变为 210。

==== Lazy update variation ====

每当权重发生变化时，不要立即更新树。相反，只需将其标记为“脏权重”，等到您需要从该特定节点进行预测。

当您需要从特定节点进行预测并且如果某些权重不正确时，要么 a.仅使用脏节点或 b 更新树。更新整个树。如果脏权重的个数为t，总权重的个数为k，如果t*log(k)