具有相同键值的最大和最小堆之间的公共节点？答案

【问题标题】：Common nodes between max and min heaps with same key value?具有相同键值的最大和最小堆之间的公共节点？
【发布时间】：2017-03-22 17:10:29
【问题描述】：

我的意思是说，对于两个堆的键值都为 1 到 n 的最大堆和最小堆而言，键值保持相同的位置数的最大可能性是多少？

用最简单的方式，一个二元最大堆和一个二元最小堆，每个堆的键值为 1、2、3、4、5、6，使得数字两个堆中的键值相同的位置尽可能多。有多少个职位在这种情况下，它们是否相同？

【问题讨论】：

很难理解。你能用更简单的方式问吗？

标签： algorithm sorting data-structures heapsort

【解决方案1】：

渐近地，至少有 n/3 个值具有相同的位置。设 n=2^k-1，所以我们在最后一级有 2^k-1 个元素，在前一级有 2^k-2 个元素-最后一级。

让我们按数组顺序将元素放入最小堆中：1 在顶部，2 和 3 在第二层，4-7 在第三层，依此类推。现在，查看元素 n/3 到 2n/3（边界处为 +-1，但这与渐近行为无关）。它们占据了前最后一层的结束（2/3）和最后一层的开始（1/3）。该集合中的所有元素都不是该集合中另一个元素的后代，所以它适合最小堆和最大堆。更重要的是，这组顶部有 1/3 值的空间，底部有 1/3 值的空间。

所以，要在相同位置上用这个集合创建一个最大堆，我们可以交换顶部和底部三分之一，然后根据最大堆规则在那里排列元素。例如，它们可以按数组降序排列。

n=15（十六进制数）的示例：

    min-heap                 max-heap
        1                        F       
    2       3                E       D   
  4   5   6   7            C   B   6   7 
 8 9 A B C D E F          8 9 A 5 4 3 2 1

如您所见，元素 6、7、8、9 和 A 在两个堆中的位置相同。 1-5部分被移到底部，它们在底部的顺序可以是任意的。 B-F 部分被移到顶部并重新排列为 F-B 以形成最大堆。

【讨论】：

实际上，当 n = 3 * (2^k - 1) 时，可以构造另一个简单的例子。那么中间的三分之一正好占据一层。
考虑最小堆[1,3,2,4]和最大堆[4,3,2,1]。在这种情况下，n/2 个项目具有相同的位置。我想知道是否有可能为更大的堆构建这样的安排。
@JimMischel 我怀疑常数可以渐近地达到 1/2，但没有证明这一点，实际上不知道我们是否可以做得比 1/3 更好。我们需要我们的集合中没有任何一个元素是任何其他元素的后代，所以最好的情况看起来或多或少像树的一个级别，可能是倾斜的。此外，应该有足够的空间，无论是在我们集合的顶部和底部，还是我们集合的独立（“侧面”），以放置所有不属于该集合的元素。常数 1/2 意味着我们使用树的最后一层，它的底部没有空间来放置其他元素。