更新有序数字数组的最快方法是什么？答案

【问题标题】：What is the fastest way of updating an ordered array of numbers?更新有序数字数组的最快方法是什么？
【发布时间】：2011-07-29 16:26:41
【问题描述】：

我需要计算一个必须动态维护和经常查找的一维直方图。我的一个想法是用数据保持一个有序数组（因为这样我可以确定 O(1) 中的百分位数，这足以快速找到具有非均匀箱的直方图，每个箱内的点数量完全相同）。

那么，有没有一种小于 O(N) 的方法将一个数字插入到有序数组中，同时保持有序？

我想答案是众所周知的，但我对算法知之甚少（从事数值计算的物理学家很少这样做）。

【问题讨论】：

如果它实际上是一个数组（而不是例如一个链表），那么实际插入本身必然是 O(n) （因为你需要将所有后续元素移动一个）。搜索找到要插入的位置显然可以少于 O(n).
数据是完全随机的还是倾向于遵循一些统计方程？如果是后者，考虑到这一点，您将获得更好的优化。您将需要概率分布的反函数。
如果你没有说明你使用的语言，你可能需要说明基本array操作的运行时间，否则人们会认为它是O(1)查找，O(index)插入， ETC。;这可能是你想要的。
你存储的是整数还是浮点数？
嗨。我正在存储浮点数，不知道它们是如何分布的（这几乎是我的程序最终必须确定的）并且我正在使用 C++。

标签： algorithm sorting data-structures

【解决方案1】：

在一般情况下，您可以使用更灵活的树状数据结构。这将允许在 O(log) 时间内访问、插入和删除，并且相对容易从库中获得现成的（例如：C++ 的 STL 映射）。

（或哈希映射...）

二分查找的有序数组与树的作用相同，但更严格。访问和内存使用可能会更快，但在中间插入或删除内容时您需要付费（O(n) 成本）。

但是请注意，有序数组可能对您来说就足够了：如果您的数据点经常相同，您可以维护一个按键排序的对 {key, count} 的列表，从而能够快速添加另一个实例现有项目（但仍然需要做更多工作才能添加新项目）

【讨论】：

【解决方案2】：

您可以使用二进制搜索。这是 O(log(n))。如果您想插入数字 x，则将数组中间的数字与 x 进行比较。如果 x 较小，则取前半部分中间的数字，否则取后半部分中间的数字，依此类推。

【讨论】：

搜索是O(log n)，插入是O(n)。
如果array 的实现允许O(1) 插入，这将起作用；类 C 语言中的数组不会。
@ninjagecko：在数据结构方面它不是数组，它更像是链表，当然取决于实现

【解决方案3】：

如果您将数组重新排列为悬挂在每个元素上的一组链表，则可以在 O(1) 时间执行插入操作：

keys = Array([0][1][2][3][4]......)
              a  c  b  e  f  .  .
              d  g     i  .  .  .
                 h     j  .
              |__|__|__|__|__|__|__/linked lists

如果您的更新工作负载支持它而不增加常见操作的时间复杂度，那么还有同时保留两个数据结构的策略。

【讨论】：

但是如果我需要得到谁是序列的第 k 个元素，那将是 O(k)，不是吗？
@Rafael：您必须明确说明“序列的第 k 个元素”是什么意思。如果您只关心收到元素的顺序，它是O(1)（使用哈希表）。如果您关心每个链接列表...我认为您没有理由关心键相等的元素的顺序，除非您没有告诉我们某些事情。即使你这样做了，如果你并排使用这两个数据结构，它要么是O(1)，要么如果你只是使用这个数据结构，它会是O(log(N))（执行二进制搜索，跟踪有多少元素在每个 bin / 每个链表中）。

【解决方案4】：

那么，有没有一种小于 O(N) 的方法将一个数字插入到有序数组同时保持有序？

是的，您可以使用数组来实现binary search tree，并在 O(log n) 时间内进行插入。怎么样？

保持索引 0 为空；索引 1 = 根；如果节点是父节点的左子节点，则节点索引 = 2 * 父节点索引；如果节点是父节点的右子节点，则节点索引 = 2 * 父节点索引 + 1。

因此插入将是 O(log n)。不幸的是，您可能会注意到，如果您不平衡树，即 O(n)，则有序列表的二叉搜索树可能会退化为线性搜索，这是没有意义的。在这里，您可能必须实现red black tree 以保持高度平衡。但是，这非常复杂，但是可以使用 O(log n) 中的数组完成插入。请注意，数组元素将不再是整数；相反，它们必须是具有颜色属性的对象。

我不会推荐它。

【讨论】：

搜索是O(log n)，插入是O(n)。
我认为插入仍然是 O(log n) 因为它需要 O(log n) 才能找到插入的位置，然后从那里插入只需 O(1) 以添加到正确的索引。查找更多信息here
为什么要使用数组来实现？您所需要的只是一个可迭代的结构。听起来像经典的 RB 树/AVL 树
@kyun 提问者问道：“那么，有没有一种小于 O(N) 的方法来将一个数字插入到有序数组中，同时保持它的有序性？”。
@Dhruv Gairola 我现在明白了。

【解决方案5】：

这需要一个数组有什么特别的原因吗？您需要一个数据结构来保持数据有序并允许您快速插入。为什么不是二叉搜索树？或者更好的是，一棵红黑树。在 C++ 中，您可以使用标准模板库中的 Set 结构，该结构被实现为红黑树。为您提供 O(log(n)) 插入时间以及像数组一样对其进行迭代的能力。

【讨论】：