我正在尝试解决第 6 章 - 点位置的“计算几何算法和应用，第 3 次 - de berg 等人”一书的一些练习。不幸的是，我不知道如何解决以下练习：
给定一个凸多边形 P 作为其 n 个顶点按排序顺序排列的数组 沿着边界。证明，给定一个查询点 q，它可以在 时间 O(log n) q 是否在 P 内。
到目前为止我的想法： 我知道确定一个点是否位于 O(log n) 中的 p 内的唯一方法是使用有向无环图。为了使用有向无环图，我需要构建它，这在 O(log n) 中是不可能的。所以，不知何故，我需要使用有序数组，但我知道的唯一使用数组的解决方案将花费 O(N)。
我希望有人可以帮助我。
【问题讨论】：
标签： algorithm geometry computational-geometry graph-algorithm
这个想法基本上是进行二进制搜索，以找到该点属于哪个“段”。这里的假设是多边形环绕某个固定原点O，这是定义角度排序例程所必需的。
要确定q 是位于P[n/2] 的“左”还是“右”（我的意思是关于O 的逆时针或顺时针旋转差异），我们进行二维叉积：
这是一个真正的标量。如果这是肯定的，那么a 在b 的右侧，反之亦然。在我们的代码a = q - O 和b = P[i] - O 中，i 是我们正在测试q 所针对的多边形上的点的索引。
然后我们可以使用这个测试来找出q 在哪个“段”或“楔形”中，即多边形q 的哪些点在它们之间（在图表上，它们是P[n/2 - 1] 和P[n/2]） ，使用二进制搜索，即 O(log n)。 （我假设你知道怎么做）
一旦我们知道了这一点，我们就需要知道q 是否在“楔形”内部。
从https://en.wikipedia.org/wiki/Line%E2%80%93line_intersection，对于分别由点对[(x1,y1),(x2,y2)]和[(x3,y3),(x4,y4)]定义的两条线，它们的交点(Px , Py) 由
给出计算 [Pl, Pr] 和 [q, O] 之间的交集得到s，并计算距离|s - O|。如果它大于|q - O|，则q 在多边形 P 内，反之亦然。
（这一步当然是 O(1)。但是可能有更优雅的方法 - 我只是说明它背后的逻辑）
那么总复杂度是 O(log n) + O(1) = O(log n)。
【讨论】：