在图上选择外部点的算法（“丰富”凸包）

Question

我正在寻找一种有效的方法来选择离中心最远的大部分点（2D 欧几里得图）。这类似于凸包，但会包括（许多）更多点。进一步的标准：

• 选择/集合（“K”）中的点数必须在指定范围内。它很可能不会很窄，但它最适用于不同的范围（例如 0.01*N

• 算法必须能够平衡距中心的距离和“局部密度”。如果图形范围的上部附近有密集区域，而下部附近有稀疏区域，那么算法必须确保从下部选择一些点，即使它们比上部的点更靠近中心地区。 （见下例）

• 奖励：考虑到特定点（或点和中心）的距离，而不是与中心的简单距离，将是完美的。

到目前为止，我的尝试主要集中在使用“鸽巢”（将图形划分为 CxR 框，根据坐标将点分配给框）并选择“外部”框，直到我们在集合中有足够的点。但是，我没有成功平衡选择（由于固定框大小而过度选择的密集区域），也没有成功使用选定点作为参考而不是（仅）中心。

我（糟糕地）画了一个Example：红点是点，绿色形状是我想要的一个例子（在绿色之外=选中）。对于稀疏区域，边界形状更靠近中心以找到合适的点（但不一定找到任何点，如果它们离中心太近）。黄色框是我的基于鸽子洞的算法的一个示例。即使在尝试针对稀疏区域进行调整时，它也不能很好地管理。

欢迎提出任何想法！

Answer 1

我认为没有任何标准算法可以满足您的需求。你将不得不发挥创造力。假设您的点嵌入在 2D 欧几里得空间中，这里有一些想法：

1. 迭代计算多个凸包。例如，计算凸包，保留作为凸包一部分的点，然后计算另一个凸包，忽略原始凸包中的点。继续这样做，直到你有足够数量的点，基本上每次迭代都在周长上拔掉点。这种方法的唯一问题是它不适用于数据集中的凹面（例如，您发布的样本底部的凹面）。

2. 为您的数据拟合 Gaussian 并保持所有内容 > N 标准 偏离平均值（其中 N 是您必须 选择）。如果您的数据是高斯数据，这应该可以很好地工作。如果 不是，你总是可以用几个高斯模型（而不是 一），并保持联合概率小于某个阈值的点。使用多个高斯可能会很好地处理凹面。
   参考文献：
   http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_function
   How to fit a gaussian to data in matlab/octave?\

3. 使用 核密度估计 - 如果您创建核密度 表面，您可以在某个高度切片表面（例如，转动 它变成一个高原），给你一个周边的形状（形状 高原）周围的点。诀窍是把它切成薄片 正确的位置，因为你最终可能没有得分 在形状之外，但通过正确的选择，您可以轻松地 得到你画的绿色形状。如果您明智地选择切片点（这可能很难做到），这种方法会很好地工作并在您的示例中为您提供绿色形状。这种方法的最大缺点是计算量非常大。更多信息： http://en.wikipedia.org/wiki/Multivariate_kernel_density_estimation

4. 使用 alpha 形状 来获得紧紧包裹的一般形状 点集的外周长。然后侵蚀形状a 很少强迫形状之外的一些点。我对 alpha 形状没有太多经验，但这种方法在计算上也会非常昂贵。更多信息： http://doc.cgal.org/latest/Alpha_shapes_2/index.html