正实数的递归定义答案

【问题标题】：Recursive definition of positive real Number [closed]正实数的递归定义
【发布时间】：2014-11-03 17:28:24
【问题描述】：

以下是 I. Cohen 的《计算机理论》一书中对正实数的递归定义。

但是作者说

它确实定义了一些集合，但它不是正实数的集合

所有正数都在上述定义定义的集合中是什么意思？

【问题讨论】：

【解决方案1】：

这些都是有理运算，因此该集合不是正实数，因为它不包含任何正无理数（例如sqrt(2)）。

【讨论】：

好吧，但是 x/y 呢，它也会产生非理性，不是吗？。
如果 x 和 y 是有理数，那么 x/y 也是有理数。
如果我们想把它变成R，那么另一个条件squrroot(x)就足够了吗？
没有。允许 sqrt(x) 会给你一个比 R 小得多的代数数域；它甚至不包括例如有理数的立方根（因此是无法解决的“将立方倍数”的古代几何问题）。即使您包含任何具有有理系数的多项式的根，也只会产生代数数，并且不会包含例如圆周率。定义 R 的常用方法是添加一个公理，即在上面有界的 R 的任何子集在 R 中具有最小上界。（实数的一个建设性定义是 Dedekind 割）。