在更高的抽象级别上进行概率计算

Question

致反对者：这不是关于数学的问题，而是 关于编程语言Mathematica的问题。

Mathematica 的主要特点之一是它可以象征性地处理许多事情。但如果你仔细想想，许多象征性的特征实际上只是象征性的一半。

以向量为例。我们可以有一个像 {x,y,z} 这样的符号向量，用一个充满符号的矩阵进行矩阵乘法，最终得到一个符号结果，因此我们可以考虑 那个 符号向量代数。但是我们都知道，开箱即用，Mathematica 不允许您说符号 x 是一个向量，并且给定一个矩阵 A, 一个 。 x 也是一个向量。这是更高层次的抽象，Mathematica（目前）不能很好地处理。

同样，Mathematica 知道如何找到仅以符号定义的函数的 5 阶导数，但它并不适合找到 r 阶导数（请参阅“How to find a function's rth derivative when r is symbolic in Mathematica? "问题)。

此外，Mathematica 有大量的Boolean algebra capabilities，有些是石器时代的，但最近在第 7 版中获得了很多。在第 8 版中，我们得到了Probability 和朋友（例如Conditioned），这使我们能够推理具有给定分布的随机变量。这是一个非常棒的补充，它帮助我熟悉这个领域，我非常喜欢使用它。不过……

我正在和一位同事讨论某些概率逻辑规则，就像熟悉的那样

即，给定事件/状态/结果A，事件/状态/结果C的条件概率为真。

具体来说，我们正在研究这个：

虽然我曾高度评价 Mathematica 的 Probability，但在我意识到我不知道如何立即使用 Mathematica 解决这个问题之前。同样，就像抽象向量和矩阵以及符号导数一样，这似乎是一个太高的抽象级别。或者是吗？我的问题是：

您能找到一种方法来使用 Mathematica 程序找出上述等式和类似等式中的真假吗？

Answer 1

>> Mathematica 不允许你说符号 x 是向量

确实如此...无论如何都足够接近...这是Reals的集合。这称为假设或条件反射，具体取决于您想要做什么。

Refine[Sqrt[x]*Sqrt[y]]

上面没有细化，因为它假设 X 和 Y 可以是任何符号，但是如果你缩小它们的范围，你会得到结果：

Assuming[ x > 0 && y > 0, Refine[Sqrt[x]*Sqrt[y]]]

如果有能力说：Element[x,Reals^2]（二维实向量），可能在 Mathematica 9 中，那就太好了。:-)

至于这个问题：

>> 你能找到一种方法来使用 Mathematica 程序找出上述和类似方程式中的真假吗？

请参阅我对这个问题的回答（第一个），以了解贝叶斯定理的符号方法： https://stackoverflow.com/questions/8378336/how-do-you-work-out-conditional-probabilities-in-mathematica-is-it-possible

Answer 2

看了一眼，从Condition的文档中找到了一个例子：

In[1]:= c = x^2 < 30; a = x > 1;

(抱歉这里的格式...)

In[2]:= Probability[c \[Conditioned] a, x \[Distributed] PoissonDistribution[2]] == 
Probability[c && a, x \[Distributed] PoissonDistribution[2]] / Probability[a, x \[Distributed] PoissonDistribution[2]]

计算结果为True，对应于您给出的第一个示例的不太通用的版本。

如果我有时间的话，我会在今晚晚些时候重温这个。