Mathematica 对#^2 & /@ Range[n] 的令人费解的解释答案

【问题标题】：Mathematica's puzzling interpretation of #^2 & /@ Range[n]Mathematica 对#^2 & /@ Range[n] 的令人费解的解释
【发布时间】：2011-10-14 15:05:28
【问题描述】：

我对 Mathematica 对以下问题的回应感到困惑：

ClearAll[n]
#^2 & /@ Range[n]
#^2 & /@ Range[n] // StandardForm

似乎连 Mathematica (8.0) 都不相信它刚才说的话：

#^2 & /@ Range[5]
Range[5^2]

对正在发生的事情有什么想法吗？

编辑：

这个问题的原始上下文如下。我写过

PrimeOmega[Range[n]] - PrimeNu[Range[n]]

由于 n 将非常大（2^50），我想我可以通过将其重写为来节省时间：

 PrimeOmega[#] - PrimeNu[#] &/@Range[n]

回想起来，这可能不是一个好主意。（我本可以使用 Module 只“计算”一次 Range。）

【问题讨论】：

关于 edit 部分 - 恐怕你找不到一台内存足够容纳Range[2^50] 的机器。你真的需要所有这些数字吗？
@Leonid。不是同时。我想我可以通过使用Sum 循环并保持差异的总和。
您是否将 Range[5^2] 与 Range[5]^2 混淆了？至于 2^50，“列昂尼德说的话”。
@David 我明白了。如果您只需要差的总和，那么大块移动会更快，比如几百万个数字左右。或者，或者，您可以将循环编译为“C”。但是，我做了一些实验，似乎即使对于 10^4 个第一个整数，你也需要大约 0.5 秒。双向。瓶颈似乎在 Prime 中 - 功能本身。是否可以手动更快地实现它们（例如，使用Compile，或者用 C 编写并加载为 dll），我不知道，但是，要为您的数字工作，它们必须 非常快得多。
@LeonidShifrin 幕后的 FactorInteger 是瓶颈。对于该大小范围内的数字，我怀疑除非使用类似的方法但更好地调整启发式方法，否则会获得很多收益。用于截止。可能感兴趣（巧合的是两天前）：lists.apple.com/archives/scitech/2011/Oct/msg00009.html

标签： wolfram-mathematica range

【解决方案1】：

由于n 未定义，Range[n] 对其自身求值。因此，Map 作用于它就像作用于任何其他符号头，将你的函数映射到它的元素上 - 这里只是 n

In[11]:= #^2 & /@ someHead[n]
Out[11]= someHead[n^2]

编辑

在您的编辑中解决问题 - 对于数字 n，Range 评估为一个列表，您会得到预期的结果（即Range[5]^2。这完全取决于评估的顺序。要得到Range[5^2]，你可以使用#^2&/@Unevaluated[Range[5]]，在这种情况下，一切都会像上面的符号n一样发生）。事实上，Range 在非数字输入上发出错误消息。此外，它与问题相切，但 #^2& 之类的函数是 Listable，您不必映射它们。

【讨论】：

@Mr.向导我现在在 mma 标记中回答了 200 个问题，但其中 1 个是社区 wiki。生活很艰难...感谢您的支持。
我明白了。我们将期待再延长一点。
我从您与someHead 的示例中得知，问题不在于头部Range，而在于n。我同意你关于Range 是Listable 的观点。
@yoda 一如既往，事实很简单。我与领先的爆米花供应商签订了 SO 标签的合同，仅此而已。
@DavidCarraher 我指的是 Leonid 的评论，即他与爆米花供应商勾结，这就是为什么他不断删除他在 Stack Overflow 上的答案，进一步推迟了他不可避免的金徽章，从而让我们大家继续我们座位的边缘，导致我们为了迎接重要的日子而消耗更多的爆米花，导致爆米花销量增加，最终将回到他的口袋里。呸！那是一团糟。

【解决方案2】：

有点离题，但您可以通过重新定义 FactorInteger 来提高速度，然后每个输入只调用一次。

f1[n_] := PrimeOmega[Range[n]] - PrimeNu[Range[n]]
f2[n_] := With[{fax=FactorInteger[#]}, Total[fax[[All,2]]]-Length[fax]]& /@ Range[n]

例子：

In[27]:= Timing[pdiff1 = f1[2^20];]
Out[27]= {37.730264, Null}

In[28]:= Timing[pdiff2 = f2[2^20];]
Out[28]= {9.364576, Null}

In[29]:= pdiff1===pdiff2
Out[29]= True

丹尼尔·利希特布劳

【讨论】：

+1 这些结果真让我吃惊。我的想法正好相反！
@DavidCarraher [你的意思是 pdigg2===pdiff1???] 说真的，让我吃惊的是它们似乎是 4 倍而不是 2 倍。我已经确认（至少在几个案例中）PrimeOmega 和 PrimeNu 都准确地调用了 FactorInteger 一次，所以我不明白为什么第一次要慢 4 倍。即使我颠倒顺序也会发生这种情况，所以它在任何方面都不是缓存现象。