如何在 Python 中快速得到一个线性程序的可行解？

Question

目标：计算两个凸多面体的交集。

我正在使用scipy.spatial.HalfspaceIntersection 来执行此操作。下图显示了生成的交集：

我的问题：确定一个初始可行点。

您看，scipy.spatial.HalfspaceIntersection 的当前 Python 实现需要将 interior_point 作为参数传递。

interior_point : ndarray of floats, shape (ndim,)
清楚地指向由半空间定义的区域内。也称为可行点，可以通过线性规划得到。

现在，我正在手动提供可行点，因为我只是在起草一个原型来试验HalfspaceIntersection。 但是现在我已经到了不想手动指定它的地步。

SciPy 的优化模块scipy.optimize.linprog 实现了两个通用线性规划 (LP) 求解器：simplex 和 interior-point .但是，它们似乎需要成本函数。 [1]

由于我想花费尽可能少的处理时间来计算这个可行点，我想知道如何在没有成本函数的情况下运行任何这些 LP 方法，即只运行到解决方案已达到可行状态。

问题：

1. scipy.optimize.linprog 是计算这个可行内点的正确方法吗？

2. 如果是，我如何使用 simplex 或 interior-point 没有成本函数？

3. 为什么scipy.spatial.HalfspaceIntersection 要求首先将interior point 作为参数传递？据我所知，半空间的交集是消除给定一组不等式的冗余不等式。为什么这需要一个可行点？

Answer 1

您可以指定一个恒定的成本函数，例如 0。

这是一个例子：

%pylab
from scipy.optimize import linprog
A = array([[1] + 9 * [0], 9 * [0] + [1]])
b = array([1, 1])

衡量这种方法的性能表明它非常有效：

%time
res = linprog(c=zeros(A.shape[1]), A_eq=A, b_eq=b)

输出：

CPU times: user 5 µs, sys: 1 µs, total: 6 µs
Wall time: 11 µs

此外，根据res.nit，我们仅在 2 次迭代后就完成了。

结果res.x是正确的：

array([ 1.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  0.,  1.])

请注意，单纯形算法旨在找到由线性约束定义的多面体的顶点。据我了解，基于内部点的方法没有这样的偏好，尽管我不熟悉 scipy 的 linprog 背后的实现。因此，由于您的要求是“明显在半空间定义的区域内”，因此我建议使用以下任一方法：

• 要么， 将method='interior-point' 传递给linprog。
• 或者， 计算不同的顶点并利用多面体是凸的：
  1. 为常量目标函数添加一些噪声（例如，通过np.random.randn）
  2. 通过改变噪声种子 (np.random.seed) 求解多个噪声增强 LP 实例。
  3. 最后，使用解的平均值作为最终的内点“明显在区域内”。

由于不清楚内部点的边距需要多大，我希望第二种方法（噪声增强 LP）更稳健。