避免样条拉伸中的扭曲伪影？

Question

我正在尝试将 2d 形状轮廓附加到样条曲线。在样条曲线的某些点上，我的几何图形中出现了奇怪的扭曲伪影，如图所示。如何使用 Frenet-Frame 方程避免这种情况？

我目前对法线、副法线和切线的计算：

forward_tangent_vector = glm::normalize(pointforward - pointmid);
backward_tangent_vector = glm::normalize(pointmid - pointback);
second_order_tangent = glm::normalize(forward_tangent_vector - backward_tangent_vector);
binormal = glm::normalize(glm::cross(forward_tangent_vector,second_order_tangent));
normal = glm::normalize(glm::cross(binormal, forward_tangent_vector));

//translation matrix
T = glm::translate(T, pointmid);

normal_axis = glm::vec3(0, 1, 0);
rotationAxis = glm::cross(normal_axis, forward_tangent_vector);
rotationAngle = glm::acos(glm::dot(normal_axis, forward_tangent_vector));

//rotation matrix
R = glm::rotate(R, glm::degrees(rotationAngle), rotationAxis);

Answer 1

你成了hairy ball theorem的受害者：

计算机图形学中的一个常见问题是在 R3 中生成一个与给定非零向量正交的非零向量。没有单个连续函数可以对所有非零向量输入执行此操作。这是毛球定理的推论。要看到这一点，请将给定向量视为球体的半径，并注意找到与给定向量正交的非零向量等价于找到与该球体表面相切的非零向量。半径。然而，毛球定理表明，不存在可以对球体上的每个点（即每个给定向量）执行此操作的连续函数。

另见：http://blog.sigfpe.com/2006/10/oriented-fish-and-hairy-balls.html

问题出在这两行：

normal_axis = glm::vec3(0, 1, 0);
rotationAxis = glm::cross(normal_axis, forward_tangent_vector);

当forward_tangent_vector 与(0,1,0) 共线时，rotationAxis 变为(0,0,0)。这就是为什么你的管道会震动。

您需要做的不是硬编码(0,1,0)，而是取样条的一阶导数（速度/切向量），取样条的二阶导数（加速度/法线向量），然后取它们的叉积（双常态）。对这三个向量进行归一化，你会得到所谓的Frenet-frame，即围绕样条的一组 3 个相互垂直的向量。

请注意，您的样条曲线必须是 C2 连续的，否则您会得到由二阶导数（也称为加速度/法线向量）中的不连续性引起的类似“扭曲”。

一旦您有了 Frenet 框架，只需简单地更改基础即可在该坐标系中工作。不要乱用glm::rotate，只需将 x,y,z 单位向量作为行（或列）放入矩阵中？我不确定 GLM 使用什么约定......）这将是你的转换矩阵.