我必须从给定的一组坐标中找到最大数量的矩形。
考虑以下坐标在 X Y 坐标系中给出 3 10, 3 8, 3 6, 3 4, 3 0, 6 0, 6 4, 6 8, 6 10，
如何判断以下坐标是否形成矩形 (3,0) (3,4) (6,4) (6,0)
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【问题讨论】：
标签： geometry coordinates rectangles
在“y”坐标列表中分离您的点，按“x”坐标分组。在您的情况下，您将有两个排序列表：
3: [0,4,6,8,10]
6: [0,4,8,10]
做两个列表的交集你得到：[0,4,8,10]
其中任何两个都会形成一个矩形：
[0,4] => (3,0), (3,4), (6,0), (6,4)
[0,8] => (3,0), (3,8), (6,0), (6,8)
[4,8] => (3,4), (3,8), (6,4), (6,8)
...
此解决方案仅适用于正交矩形，即边平行于 x,y 轴。
【讨论】：
对于每一对点，比如 (x1, y1) 和 (x2, y2) 认为它是某个矩形的对角线。如果在初始集合中存在点 (x1, y2) 和 (x2, y1)，那么我们已经找到了我们的矩形。需要注意的是，会有 2 条对角线代表同一个矩形，所以我们将最终答案除以 2。
这仅适用于平行于 x 轴或 y 轴的矩形。
伪代码 C++：
answer = 0;
set<pair<int, int>> points;
for(auto i=points.begin(); i!=std::prev(points.end()); i++)
{
for(auto j=i+1; j!=points.end(); j++)
{
pair<int, int> p1 = *i;
pair<int, int> p2 = *j;
if(p1.first == p2.first || p1.second == p2.second)
continue;
pair<int, int> p3 = make_pair(p1.first, p2.second);
pair<int, int> p4 = make_pair(p2.first, p1.second);
if(points.find(p3) != points.end() && points.find(p4) != points.end())
++answer;
}
}
return answer/2;
【讨论】：
检查4个点是否形成一个矩形：
你将有 a[0] = a[1], a[2] = a[3], a[4] = a[5]
【讨论】：
如何判断以下坐标是否形成矩形
检查差分向量是否正交，即点积为零。
这不检查这些坐标是否包含在您的列表中。它还不检查矩形是否与坐标轴对齐，这将是一个简单得多的问题。
如果您想查找输入中的所有矩形，可以对所有四元组进行上述检查。如果由于性能原因这是不可接受的，那么您应该更新您的问题，指出您面临的问题规模和性能限制。
【讨论】：
我的方法是
我的解决方案在 O(n^2) 中运行，但这只会是平行于 X 或 Y 轴的矩形。
这是我上述方法的代码：
def getRectangleCount(coordinate):
n = len(coordinate)
y_count = dict()
ans = 0
for i in range(n):
x, y = coordinate[i]
for j in range(n):
dx = coordinate[j][0]
dy = coordinate[j][1]
if y < dy and x == dx:
ans += y_count.get((y, dy), 0)
y_count[(y, dy)] = y_count.get((y, dy), 0) + 1
return ans
coordinate = [[3, 10], [3, 8], [3, 6], [3, 4], [3, 0], [6, 0], [6, 4], [6, 8], [6, 10]]
print(getRectangleCount(coordinate))
【讨论】：
这是一个解决方案，可以在 O(n^4) 时间内在给定的坐标点列表中找到所有唯一的矩形（不仅是那些平行于 x 或 y 轴的矩形）。
伪代码：
// checks if two floating point numbers are equal within a given
// error to avoid rounding issues
bool is_equal(double a, double b, double e) {
return abs(a - b) < e;
}
// computes the dot product of the vectors ab and ac
double dot_product(Point a, Point b, Point c) {
return (b.x - a.x) * (c.x - a.x) + (b.y - a.y) * (c.y - a.y);
}
// find all rectangles in a given set of coordinate points
List<Rectangle> find_rectangles(List<Point> points) {
List<Rectangle> rectangles;
// sort points in ascending order by first comparing x than y value
sort(points);
for (int a = 0; a < points.size(); ++a)
for (int b = a + 1; a < points.size(); ++b)
for (int c = b + 1; c < points.size(); ++c)
for (int d = c + 1; d < points.size(); ++d)
// check all angles
if (is_equal(dot_product(points[a], points[b], points[c]), 0.0, 1e-7) &&
is_equal(dot_product(points[b], points[a], points[d]), 0.0, 1e-7) &&
is_equal(dot_product(points[d], points[b], points[c]), 0.0, 1e-7) &&
is_equal(dot_product(points[c], points[a], points[d]), 0.0, 1e-7))
// found rectangle
rectangles.add(new Rectangle(points[a], points[c], points[d], points[b]));
return rectangles;
}
说明：
对于一组给定的点 A, B, C, D 到 define a rectangle，我们可以检查是否所有角度都是 90°，这意味着所有不平行的边都是正交的。
由于我们可以仅通过 dot product 为 0 来检查此属性，因此这是最有效的方法（无需进行平方根计算来计算边长）。
先对点进行排序可以避免由于排列而多次检查同一组点。
【讨论】：