分段线拟合答案

【问题标题】：Fragmented line fitting分段线拟合
【发布时间】：2016-04-17 20:48:04
【问题描述】：

我想将一条线拟合到线段，即大约属于该线的少量（通常少于 10 个）线段。这条线有一个小坡度。但也有异常值：线外的段（通常更小）。下图是一个典型案例。碎片之间没有水平重叠。

我宁愿避免尝试拟合所有细分子集并保持最佳状态。我也不会依赖 RANSAC，因为样本太小了。

有什么建议吗？

更新：

我现在计划将问题改写为在点上拟合一条线的问题，即各个线段上的点的无穷大，假设线性密度恒定。通过以积分形式重写最小二乘方程，我们可以看到我们可以认为这些线段集中在它们的中间，权重等于它们的长度；还有一个额外的术语考虑了它们的斜率。这为段上的拟合提供了良好的基础。

现在我仍然需要结合异常值检测。受 RANSAC 的启发，我可以选择最长的线段并单独或成对使用它们来获得候选线。对于每一行，评估总误差，并保留给出最小值的行。从那里开始，一些标准（尚未找到）应该允许拒绝异常值并对内部值执行最终最小二乘拟合。

【问题讨论】：

以最短行的 1/10 长度分割每一行；最小二乘最佳拟合；删除最差的异常值line；重复。对于每次迭代计算the sigma 整体，看到急剧下降，停止。或者，在每一步，为每条线计算其与最佳拟合线的豪斯多夫距离，删除最远的线，重复；当距离小于某个预设值时停止 // 幅度显着下降。
@WillNess：嗯，如果对所有段进行初始拟合，最小二乘拟合将表现不佳，并且会受到异常值的很大影响。然后存在拒绝内点的风险。无论如何，将异常值一一去除的想法很有趣。
为什么？你说异常值很短。以相同的长度进行分割可以增强更接近的较长线的影响。
@WillNess：这是最小二乘法的弱点：误差是平方的，过度强调异常值。一个点可能会破坏原本非常适合的。
@WillNess: demonstrations.wolfram.com/…（查看左下角快照）。

标签： algorithm geometry curve-fitting robustness

【解决方案1】：

我猜斜率将是线片段斜率的平均值乘以等于片段长度（或片段长度的平方，具体取决于外围片段的长度）的因子比较）。然后将该线与该斜率最佳拟合。

所以取线片段，将斜率转换为角度 (arctan2(y1-y0,x1-x0)) 乘以长度将它们加起来，除以（所有片段的总长度）。对位置（线片段的中点位置*片段长度）/（所有片段的总长度）做同样的事情，然后确保具有该斜率的线与具有该值的点相交。

更新：

如果我们不想过多地考虑坡度，我们宁愿在位置上根据不同段的影响对线进行最佳拟合，我们再次按其长度加权。

求片段的总长度。迭代片段，直到达到片段总长度的 1/3。这将是你的第一个点的 x。然后选择一些任意小的值并再次遍历片段，以您选择的速率进行采样。然后，该样本的影响是给定的 y 乘以 x 的线性距离，从 x 的 1/3 路穿过所有片段，所有片段均由所有片段的线性距离的总和归一化。对 2/3 的方式做同样的事情。并在两个结果点之间画一条线。

【讨论】：

这让人想起斜率的 Theil-Sen 估计器。采用中位数而不是平均值更为稳健，但该中位数应该以某种方式通过段长度“加权”。
另一个考虑是全局坡度不应仅取决于各个坡度，还应取决于线段的位置：假设所有线段垂直居中在同一水平线上，但都具有相同的非零值斜率：无论如何，拟合线应该是水平的。
嗯。水平拟合线段的测试用例都具有 2 的斜率。根据我的建议，将一条具有该斜率的线打到那里的最中心位。尽管其中很多似乎都是在墙上扔东西并找出最有效的方法。
做整个图表甚至可能是矫枉过正。您应该尝试仅找到以片段长度加权的片段的平均前半部分，以及以片段长度加权的片段的后半部分。确保在总长度的一半处调用该点，即两个片段之间的分割点。
这是不正确的。想象一堆 1 长度的线，每条线的倾斜角为 10 度，起点在 y=0, x={0,1,...,100}。最佳拟合线的斜率为 0。

【解决方案2】：

正如你所问，我有一些建议。完整且有效的答案对我来说有点太多了。我的建议包含两个主要部分。一个一个地拿：

处理异常值：

消除异常值的一个建议是对线段进行聚类。然后，不要担心落在集群之外的行。但是，你如何聚集这些线条？将整个二维平面划分为y = 0 to a、y = a to 2a、y = 2a to 3a 等。位于同一y = i to j 条纹中的线段将用于生成i 和j 值正确的条纹。

但是有一个问题：如果线段没有很好地水平分割怎么办？如果多数线倾斜 38 度而不是接近 0 怎么办？在这种情况下，您可以使用Principle Component Analysis。很抱歉将您链接到这样一个开放式的想法 - 您的问题有点需要它。

重新对齐线条，使它们与 X 轴大体平行，然后，如上所述，找到包含大部分线条的条纹。

近似最佳拟合线：

现在，在您最终确定了正确的条纹后，获取所有落在条纹中的线段并使其变密。致密化是将线段近似为点集合的步骤。由于所有这些线段都在y = i 和y = j 之间，因此，您可以从y = (i + j) / 2 线开始作为最佳拟合线。那么：

求所有点到这条线的距离，当点在线上方时距离为负，当点在线下方时距离为正。
对所有距离求和。我们称这个总和值为 approximationError。
您现在的目标是找到 approximationError 为 0 的 y 值。
如果多数点位于该线下方，则减少 y，如果多数点位于该线上方，则增加它。
你最终会到达像y = c这样的行。
现在，将这条线倾斜到您在主成分分析步骤中更改所有输入线段的角度。
要获得线 segment，请用条纹中最远的两个 x 点的 x 值切割这条线。

我意识到这一切可能并不容易想象。这是 PCA 维基百科图像的link。这是一个 link to another answer 演示线路致密化。

【讨论】：

从估计斜率开始似乎确实很有用。 PCA 可能是一种方法，但 PCA 是基于什么？由段长度加权的端点？ PCA 本身存在异常值的风险。（在这种情况下，PCA 可以看作是一个总最小二乘回归，即最初的问题。）是否存在“稳健的 PCA”？
@YvesDaoust：一方面，您可以使线条变密并在点上进行 PCA。这样，PCA 不太可能受到异常值的影响，因为根据定义，异常值只是所有线段上的整个点集中的几个线段的点。
@YvesDaoust：只是好奇线的致密化是否适用于 PCA...？
@dislayName：我还没有尝试过任何东西。我打算使用标准的 LS，它与 PCA 非常相似，但在尝试性的异常值拒绝后进行。