在给定总数、部分数和最大和数的情况下查找整数分区的数量

Question

我正在寻找总共 N 的整数分区数，其中包含多个部分 S，最大部分正好是 X，但没有枚举所有部分。

例如：100的所有分区，10个部分，42个为最大部分。

我没有找到解决这个问题的定理或划分恒等式，我怀疑这是一个不容易从已知定理推导出来的重要问题（例如 Nijenhuis 和 Wilf 1978、Andrews 等人 2004、Bona 2006） ：

例如：N 中恰好 S 部分的分区数等于 N 中恰好 S 为最大部分的分区数。

这个问题与我的研究有关，远远超出纯数学。

更新：下面回答了这个问题，但我想发布我用来实现它的 Python 脚本。我可能会推动它通过 Cython 以获得一些速度。

n = 100 # the total
s = 10  # number of parts
x = 20  # largest part
print Partitions(n,length=s,max_part=x).cardinality() # Sage is very slow at this

def parts_nsx(n,s,x):
    if n==0 and s==0:return 1
    if n<=0 or s<=0 or x<=0:return 0
    if n>0 and s>0 and x>0:
        _sum = 0
        for i in range(0,s+1):
            _sum += parts_nsx(n-i*x, s-i, x-1)
        return _sum    
print parts_nsx(n,s,x) 

Answer 1

对于这个数量的分区递归P(n,s,x) 成立：

P(n,s,x) = sum P(n-i*x, s-i, x-1), for i=0,...,s 
P(0,0,x) = 1
P(n,s,x) = 0, if n <= 0 or s <= 0 or x <= 0

计算效率不高，也许在你的例子中它已经足够快了。

最好使用memoization来实现。

编辑：

带有记忆的 Python 实现：

D = {}
def P(n,s,x):
  if n > s*x or x <= 0: return 0
  if n == s*x: return 1
  if (n,s,x) not in D:
    D[(n,s,x)] = sum(P(n-i*x, s-i, x-1) for i in xrange(s))
  return D[(n,s,x)]

P(100, 10, 42)
2685871

更新：

满足参数n,s,x 的分区可以有i 最大大小x 的分区。 通过删除这些大小为x 的i 部分，我们会遇到与参数相同的问题 n-i*x, s-i, x-1。 例如。 100 个分区，有 10 个部分，最大部分为 42，可以有 0、1 或 2 个大小为 42 的部分。

P(0,0,x) = 1 表示我们在之前的迭代中已经有了分区。

P(n,s,x) = 0, if n>s*x 表示我们不能用最大大小的所有分区对 n 进行分区，因此不可能组合参数。 边界条件是