假设给你一个路线列表：
up, up, right, down, right, down, left, left
如果您按照指示进行操作，您将始终返回起始位置。计算您刚刚创建的形状的面积。
由上述方向形成的形状类似于：
___
| |___
|_______|
很明显，从图中可以看出面积是3。
我尝试使用 2d 矩阵来追踪方向，但不确定如何从中获取该区域...
例如，在我的二维数组中：
O O
O O O
O O O
这可能不是处理这个问题的好方法，有什么想法吗？
【问题讨论】：
标签： algorithm
由于您创建的多边形仅具有轴对齐的边，您可以根据垂直板计算总面积。
假设我们得到了一个顶点列表V。我假设我们已经在这个列表中进行了换行，所以我们可以为每个顶点 v in V 查询 V.next(v)。对于最后一个，结果是第一个。
首先，尝试找到最左边和最右边的点，以及到达最左边点的顶点（以线性时间）。
x = 0 // current x-position
xMin = inf, xMax = -inf // leftmost and rightmost point
leftVertex = null // leftmost vertex
foreach v in V
x = x + (v is left ? -1 : v is right ? 1 : 0)
xMax = max(x, xMax)
if x < xMin
xMin = x
leftVertex = V.next(v)
现在我们创建一个简单的数据结构：对于每个垂直平板，我们保留一个最大堆（排序列表也可以，但我们只需要在最后重复获取最大元素）。
width = xMax - xMin
heaps = new MaxHeap[width]
我们现在从顶点leftVertex（我们在第一步中找到的最左边的顶点）开始跟踪形状。我们现在选择这个顶点有 x/y 位置 (0, 0)，只是因为它方便。
x = 0, y = 0
v = leftVertex
do
if v is left
x = x-1 // use left endpoint for index
heaps[x].Add(y) // first dec, then store
if v is right
heaps[x].Add(y) // use left endpoint for index
x = x+1 // first store, then inc
if v is up
y = y+1
if v is down
y = y-1
v = V.next(v)
until v = leftVertex
您可以在O(n log n) 时间内构建此结构，因为添加到堆需要对数时间。
最后，我们需要从堆中计算面积。对于格式正确的输入，我们需要从堆中获取两个连续的 y 值并将它们相减。
area = 0
foreach heap in heaps
while heap not empty
area += heap.PopMax() - heap.PopMax() // each polygon's area
return area
同样，这需要O(n log n) 时间。
我将算法移植到 java 实现中（请参阅Ideone）。两个样本运行：
public static void main (String[] args) {
// _
// | |_
// |_ _ |
Direction[] input = { Direction.Up, Direction.Up,
Direction.Right, Direction.Down,
Direction.Right, Direction.Down,
Direction.Left, Direction.Left };
System.out.println(computeArea(input));
// _
// |_|_
// |_|
Direction[] input2 = { Direction.Up, Direction.Right,
Direction.Down, Direction.Down,
Direction.Right, Direction.Up,
Direction.Left, Direction.Left };
System.out.println(computeArea(input2));
}
返回（如预期）：
3
2
【讨论】：
假设某个起点（例如，(0,0)）并且y 方向为正向上：
然后，方向序列将生成 (x,y) 顶点坐标列表，从中可以从 How do I calculate the surface area of a 2d polygon? 中找到生成的（隐含闭合）多边形的区域
编辑
这是一个 Python 实现和测试。前两个函数来自上面链接的答案：
def segments(p):
return zip(p, p[1:] + [p[0]])
def area(p):
return 0.5 * abs(sum(x0*y1 - x1*y0
for ((x0, y0), (x1, y1)) in segments(p)))
def mkvertices(pth):
vert = [(0,0)]
for (dx,dy) in pth:
vert.append((vert[-1][0]+dx,vert[-1][1]+dy))
return vert
left = (-1,0)
right = (+1,0)
up = (0,+1)
down = (0,-1)
# _
# | |_
# |__|
print (area(mkvertices([up, up, right, down, right, down, left, left])))
# _
# |_|_
# |_|
print (area(mkvertices([up, right, down, down, right, up, left, left])))
输出：
3.0
0.0
请注意，此方法对于包含相交线的多边形（如第二个示例）失败。
【讨论】：
这可以使用简单多边形的鞋带公式就地实现。
对于每个段(a, b)，我们必须计算(b.x - a.x)*(a.y + b.y)/2。所有线段的总和就是多边形的有符号面积。
更重要的是，这里我们只处理长度为 1 的轴对齐段。可以忽略垂直段，因为 b.x - a.x = 0。
水平段有a.y + b.y / 2 = a.y = b.y 和b.x - a.x = +-1。
所以最后我们只需要跟踪y，添加的区域总是+-y
这是一个示例 C++ 代码：
#include <iostream>
#include <vector>
enum struct Direction
{
Up, Down, Left, Right
};
int area(const std::vector<Direction>& moves)
{
int area = 0;
int y = 0;
for (auto move : moves)
{
switch(move)
{
case Direction::Left:
area += y;
break;
case Direction::Right:
area -= y;
break;
case Direction::Up:
y -= 1;
break;
case Direction::Down:
y += 1;
break;
}
}
return area < 0 ? -area : area;
}
int main()
{
std::vector<Direction> moves{{
Direction::Up,
Direction::Up,
Direction::Right,
Direction::Down,
Direction::Right,
Direction::Down,
Direction::Left,
Direction::Left
}};
std::cout << area(moves);
return 0;
}
【讨论】：
我认为您绘制的形状（轴对齐、多边形图、闭合、不相交的线）应该有一些限制才能计算面积。
用线段表示形状，每个线段由两个点组成，每个点有两个坐标：x 和 y。
考虑到这些假设，我们可以说任何水平线段都有一个平行线段，其两个点的 x 维度相同但 y 维度不同。
这两个部分之间的表面积等于它们之间的高度差。将所有水平部分的面积相加即可得出形状的总表面积。
【讨论】：