浮点舍入效果说明答案

【问题标题】：Explanation for floating point rounding effect浮点舍入效果说明
【发布时间】：2021-07-20 16:05:27
【问题描述】：

#include <stdio.h>
int main() {
    printf("%.14f\n", 0.0001f * 10000000.0f);  // 1
    printf("%.14f\n", 0.001f * 1000000.0f);  // 2
    printf("%.14f\n", 0.01f * 100000.0f);  // 3
    return 0;
}

Godbolt

这段代码的输出是：

1000.00000000000000
1000.00006103515625
1000.00000000000000

我知道，小数不能用浮点数精确表示。但是为什么第 1 行和第 3 行的计算正确而第 2 行却没有？您对这里的详细情况有清楚的解释吗？

【问题讨论】：

埃里克很快就会给出一个更好的答案，所以我只想说：有时你会在一个地方四舍五入，在另一个地方四舍五入，然后他们取消了。此外，一般来说，您不一定会说第 1 行和第 3 行的计算正确，只是剩余的错误小于%.14f 会显示。（但是，是的，对于传统的double，%.14f 应该向您展示几乎所有内容。）
扩展我的第一条评论，最接近 0.01 的浮点数是 0.0099999997，最接近 0.001 的浮点数是 0.001000000047，最接近 0.0001 的浮点数是 0.000099999997。所以有一点规律。
“即使是停止的时钟一天也能正确两次。” :-)
设计浮点算法的人花了很多时间试图满足这个要求，因为这并不总是那么容易。通常，您必须在内部使用更多（有时更多）位来保存中间结果，以便最终结果可以正确四舍五入。最终结果应该在半个“unit in the last place”以内。
例如，hypot(x,y) 被定义为只做sqrt(x*x + y*y)，但在 glibc 中实现为更复杂的github.com/bminor/glibc/blob/master/sysdeps/ieee754/dbl-64/…，以免导致溢出并保持准确性

标签： c floating-point

【解决方案1】：

有时累积舍入（OP 样本中的每个 3 步）的结果与数学/十进制的结果相同，有时则不然。 @Steve Summit, @Steve Summit

对这里发生的事情的详细解释清楚吗？

每行代码都有 3 个可能的四舍五入步骤：

源代码至float。回忆一下常见的float 的形式是：some_limited_integer * 2^some_power。
float 乘法与舍入
float 的打印四舍五入到小数点后 14 位^*1。

对于printf("%.14f\n", 0.0001f * 10000000.0f); // 1

将0.0001f 编码为float，值为0.0000999999974737875163555145263671875
0.0000999999974737875163555145263671875 * 10000000.0 --> 999.999974737875163555145263671875 --> 四舍五入到最接近的float --> 1000.0
1000.0 --> "1000.00000000000000".

对于printf("%.14f\n", 0.001f * 1000000.0f); // 2

将0.001f 编码为float，值为0.001000000047497451305389404296875
0.001000000047497451305389404296875 * 1000000.0 --> 1000.000047497451305389404296875 --> 四舍五入到最接近的float --> 1000.00006103515625
1000.00006103515625 --> "1000.00006103515625".

在 #1 中，舍入先向下，然后向上 - 趋于取消。
在 #2 中，四舍五入越来越高 - 导致明显的 double rounding 效果。

粗略地说，每个步骤最多可能注入 1/2 ULP 错误。

其他注意事项：1）替代舍入模式。以上使用四舍五入。 2）弱库。以上假设质量为printf()。

^*1 在 OP 的样本中，没有舍入误差。一般情况下，打印float和"%f"可以四舍五入。

【讨论】：

【解决方案2】：

回答这个问题的另一种方式是说您确实没有得到一个“错误”答案和两个“正确”答案。您实际上得到了三个“正确”的答案，其中“正确”的意思是“与预期的一样好”。

键入float 只能为您提供大约 7 个十进制数字的精度。所以对于 1000 范围内的数字，小数点后三位。所以把程序改成这样：

printf("%.3f\n", 0.0001f * 10000000.0f);
printf("%.3f\n", 0.001f * 1000000.0f);
printf("%.3f\n", 0.01f * 100000.0f);

输出是：

1000.000
1000.000
1000.000

没有差异，所有答案显然都是正确的。

或者，用指数表示法，小数点前一位，小数点后六位。

printf("%.6e\n", 0.0001f * 10000000.0f);
printf("%.6e\n", 0.001f * 1000000.0f);
printf("%.6e\n", 0.01f * 100000.0f);

给予

1.000000e+03
1.000000e+03
1.000000e+03

同样，所有答案都一样。

这可能看起来像是“作弊”：我们碰巧知道在我们可以看到的右侧的数字中发生了一些“有趣”的事情，所以以这种方式压制它们不是错的，而且让所有答案看起来都一样？我不打算回答这个问题，只是指出当你在做浮点运算时，几乎总是右边有一些东西，你正在四舍五入并且压制——这只是程度的问题。

【讨论】：