查找质数 10001 优化问题

Question

所以我创建了一个程序来查找第 10,001 个素数。这是该程序的主要内容：

int main(){

  int i;
  int j;
  int count=0;
  int currnumber=0;

  for(i=1; count < 10002; i++){

      if(isPrime(i)){

          count++;
          currnumber = i;

          if(count == 10002)
              printf("%i",currnumber);
      }


  }

}

这是我在自定义库中构建的 IsPrime 函数的代码：

long long isPrime(long long number){

    long long i = 2;

    if(number == 2)
        return 1;

    for(i=2;i<number;i++){

        if(number % i == 0)
            return 0;



    }
    if(i >= number && ((number % 1 == 0) && (number % number == 0)))
        return 1;
}

当我运行该程序时，它可以工作并给我正确的答案（这是一个欧拉问题，所以我知道我做对了 :D），但处理过程至少需要 6 秒。所以我的问题是：

1. 为什么要花这么长时间？这与我设置算法的方式有关吗？
2. 如何改进我的代码以使其运行得更快？

提前致谢！

Answer 1

您可以做的第一件事可能是缓存您创建的素数值，并使用sieve of eratosthenes 算法，以便在找到它们后不必不断地重新计算素数值。

Answer 2

您正在使用两个 for 循环

我想到的一种更快的方法，也是一个很好的练习，算法叫做：Sieve of Eratosthenes

Answer 3

可以进行很多优化。一些人提到过埃拉托色尼的筛子，这是对的，但让我给你一些额外的建议。

在不改变算法的情况下改进你的代码：正如迈克尔帕克所说，你不需要处理偶数，因为其中只有一个是素数（数字 2，这使它成为“最奇数”） ' 最重要的是——这是一个双关语）。您可以通过避免三的倍数来执行类似的技巧，归结为仅处理整数 i，它们是 6 的倍数的 1 或 5。要将其转换为代码，首先将 count 设置为 3考虑素数 2、3 和 5。然后从 6 开始 i 并测试 i+1 和 i+5（都在 for 循环内），然后每次将 i 递增 6。

对于isPrime()，您可以添加类似的改进，但您也可以在达到数字的平方根后停止试除法。这是因为number 有一个除数 >= sqrt(number) 当且仅当它有一个除数 a除以number，那么number/a又是一个除数（剩下的细节可以填写，因为你很聪明）。

使用埃拉托色尼筛改进您的代码： 正如许多人所提到的，埃拉托色尼筛更能解决这个问题。事实上，它的速度超级快。但一个经常被忽视的问题是，让你的筛子长度有多大，以确保你捕捉到你所追求的素数，而不会使它变得异常大？ Prime Number Theorem 估计它应该有多大。但是你需要一个upper bound。建议使用 n * (ln n * ln ln n)。

Answer 4

如果我理解正确，您将取每个小于 1001 的数字并检查它是否有共同点。这是非常缓慢的。复杂性实际上呈指数级增长。你应该做的是将这种方法与筛子结合起来。用公分母方法找到任何素数，然后将它们从 1 乘到 n，直到它们的所有倍数都在 1 到 10001 之间。这样，您将跳过对所有素数的倍数进行公分母方法的测试成立。例如，试试这个：

ArrayList<Integer> List = new ArrayList<Integer>();
ArrayList<Integer> Primes = new ArrayList<Integer>();
Primes.add(2);
Integer p=2;
Integer n=105000;
Integer i=1;

while(p < n) {
    i=1;
    while((p*i)<=n){
        List.add(p*i);
        i++;
    }
    while (p < n){
    p++;
    if(List.contains(p)){}
    else {Primes.add(p); break;}
    }
}

System.out.println(Primes.get(10000));