首先，我们可以提高 log2 的速度，但这只会给我们一个固定的加速系数，而不会改变缩放比例。
Faster log2 改编自：https://graphics.stanford.edu/~seander/bithacks.html#IntegerLogLookup
查表法只需要大约7次操作即可找到日志
一个 32 位的值。如果扩展到 64 位数量，则需要
大约9个操作。可以使用修剪另一个操作
四个表，每个表都包含可能的添加内容。使用
int 表元素可能会更快，具体取决于您的架构。
其次，我们必须重新思考算法。如果您知道 N 和 M 之间的数字具有相同的位数，您会将它们一一相加还是更愿意做 (M-N+1)*numDigits？
但是，如果我们有一个出现多个数字的范围，我们该怎么办？让我们找到相同数字的间隔，然后将这些间隔的总和相加。下面实现。我认为我的findEndLimit 可以通过查找表进一步优化。
代码
#include <stdio.h>
#include <limits.h>
#include <time.h>
unsigned int fastLog2(unsigned int v)
{
static const char LogTable256[256] =
{
#define LT(n) n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n, n
-1, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3,
LT(4), LT(5), LT(5), LT(6), LT(6), LT(6), LT(6),
LT(7), LT(7), LT(7), LT(7), LT(7), LT(7), LT(7), LT(7)
};
register unsigned int t, tt; // temporaries
if (tt = v >> 16)
{
return (t = tt >> 8) ? 24 + LogTable256[t] : 16 + LogTable256[tt];
}
else
{
return (t = v >> 8) ? 8 + LogTable256[t] : LogTable256[v];
}
}
unsigned int numberOfBits(unsigned int i)
{
if (i == 0) {
return 1;
}
else {
return fastLog2(i) + 1;
}
}
unsigned int findEndLimit(unsigned int sx, unsigned int ex)
{
unsigned int sy = numberOfBits(sx);
unsigned int ey = numberOfBits(ex);
unsigned int mx;
unsigned int my;
if (sy == ey) // this also means sx == ex
return ex;
// assumes sy < ey
mx = (ex - sx) / 2 + sx; // will eq. sx for sx + 1 == ex
my = numberOfBits(mx);
while (ex - sx != 1) {
mx = (ex - sx) / 2 + sx; // will eq. sx for sx + 1 == ex
my = numberOfBits(mx);
if (my == ey) {
ex = mx;
ey = numberOfBits(ex);
}
else {
sx = mx;
sy = numberOfBits(sx);
}
}
return sx+1;
}
int main(void)
{
unsigned int a, b, m;
unsigned long l;
clock_t start, end;
l = 0;
a = 0;
b = UINT_MAX;
start = clock();
unsigned int i;
for (i = a; i < b; ++i) {
l += numberOfBits(i);
}
if (i == b) {
l += numberOfBits(i);
}
end = clock();
printf("Naive\n");
printf("Digits: %ld; Time: %fs\n",l, ((double)(end-start))/CLOCKS_PER_SEC);
l=0;
start = clock();
do {
m = findEndLimit(a, b);
l += (b-m + 1) * (unsigned long)numberOfBits(b);
b = m-1;
} while (b > a);
l += (b-a+1) * (unsigned long)numberOfBits(b);
end = clock();
printf("Binary search\n");
printf("Digits: %ld; Time: %fs\n",l, ((double)(end-start))/CLOCKS_PER_SEC);
}
输出
从 0 到 UINT_MAX
$ ./main
Naive
Digits: 133143986178; Time: 25.722492s
Binary search
Digits: 133143986178; Time: 0.000025s
在某些极端情况下，我的 findEndLimit 可能需要很长时间：
从 UINT_MAX/16+1 到 UINT_MAX/8
$ ./main
Naive
Digits: 7784628224; Time: 1.651067s
Binary search
Digits: 7784628224; Time: 4.921520s