“团队”的最大数量答案

【问题标题】：Maximum Number Of "Teams"“团队”的最大数量
【发布时间】：2016-02-16 23:19:47
【问题描述】：

我对一群人有一个定义。我需要根据人员列表（及其适用的位置）找到我可以获得的最大数量的团队，因为一旦一个人被“用于”一个位置，他们就不能再次使用。

简化示例：

**Team Requirements**
Slot A: 2 People
Slot B: 1 Person
Slot C: 1 Person

**People And Which Slots Are Applicable**
Person 1: A
Person 2: A,C
Person 3: A,B
Person 4: B
Person 5: A,B
Person 6: C
Person 7: C
Person 8: A

可能的答案

Team 1
A: P1, P8
B: P4
C: P6

Team 2
A: P2, P3
B: P5
C: P7

对于我的实际问题，我有多个位置（每个团队 1-10 个）和 1-1000 人，每个人最多可以有 20 个位置。

谁能推荐一种适合这种类型的组优化问题的算法？

【问题讨论】：

这是编程比赛吗？如果没有，请给出问题的链接
您需要的 Google 术语是“作业问题”。
@Salvador - 不，这不是为了编程比赛。这是我遇到的一个现实世界的商业问题。确实没有指向问题的链接，因为它非常专业。
@j_random_hacker - 谢谢，我会看看。
@j_random_hacker - 我不确定这与分配有什么关系，因为每个分组并没有真正的“成本”。我错过了什么吗？

标签： algorithm grouping

【解决方案1】：

这可以通过在一系列图中的每一个图中找到一个Maximum Cardinality Bipartite Matching 来解决，总共需要 O(n^2.5 log n) 时间。

为此，首先将每个插槽 type 转换为一组适当数量的不同插槽，这样我们就可以得到插槽 A1、A2、B、C。最终的解决方案将分配一个人到特定团队中的特定位置（例如，人员 3 到团队 1 中的位置 A2），但我们可以简单地忘记“2”（以及团队的顺序，这同样是纯人为的）。

首先计算团队数量的乐观估计 k：RoundDown(n/4) 可以，因为每个团队使用 4 人，所以我们不能有比这更多的团队。现在在二分图的一部分中制作 4k 个顶点 - 即，为每个 k 个潜在团队中的 4 个插槽中的每一个创建一个顶点：A1_1、A2_1、B_1、C_1、A1_2、A2_2、B_2、C_2、.. .，A1_k，A2_k，B_k，C_k。在二分图的另一部分，为每个人制作一个顶点。最后，将每个人顶点与允许填充的所有槽顶点连接起来：例如如果一个人 x 可以占用插槽 A 或 C，则他们应该通过一条边连接到以“A”或“C”开头的每个插槽（对于 8 个人的示例，这将是 6 条边）。

然后，解决此图上的 MCBM 问题，例如使用Hopcroft-Karp algorithm 在 O(n^2.5) 时间内。结果将是边的子集，可以解释为将每个人分配到团队中的最多一个位置，并且最多用一个人填充团队中的每个位置。如果这导致每个插槽都被填满，万岁！我们拥有尽可能多的团队。否则，如果有一些团队名额未被任何人填补，请减少团队数量并重试。（您可以每次将团队数量减少 1，这会导致需要解决的 MCBM 问题呈线性数量 - 但您可以通过二分搜索来节省时间。这意味着从将团队数量减半开始，并且此后将团队数量减少或增加一半，当一些团队有空缺时减少，当没有空缺时增加，直到收敛。）

【讨论】：