计算总和可被 k 整除的所有子数组答案

【问题标题】：Count all sub-arrays having sum divisible by k计算总和可被 k 整除的所有子数组
【发布时间】：2018-11-28 06:41:10
【问题描述】：

在准备面试的时候，在GeeksForGeeks上找到了这个问题和解决方案，但是不明白解决方案。

它说的是

Let there be a subarray (i, j) whose sum is divisible by k
  sum(i, j) = sum(0, j) - sum(0, i-1)

任何子数组的总和可以写成 q*k + rem 其中 q 是商和rem是余数因此，

    sum(i, j) = (q1 * k + rem1) - (q2 * k + rem2)
    sum(i, j) = (q1 - q2)k + rem1-rem2

我们看到，对于 sum(i, j) 即任何子数组的总和是能被 k 整除，RHS 也应该能被 k 整除。 (q1 - q2)k 显然可以被 k 整除，因为 (rem1-rem2) 为同理，rem1 = rem2 where

    rem1 = Sum of subarray (0, j) % k
    rem2 = Sum of subarray (0, i-1) % k

首先，我不明白q1 和q2 表示什么。

def subCount(arr, n, k): 

    # create auxiliary hash 
    # array to count frequency 
    # of remainders 
    mod =[] 
    for i in range(k + 1): 
        mod.append(0) 

    cumSum = 0
    for i in range(n): 
        cumSum = cumSum + arr[i] 

        mod[((cumSum % k)+k)% k]= mod[((cumSum % k)+k)% k] + 1


    result = 0  # Initialize result 

    # Traverse mod[] 
    for i in range(k): 

        if (mod[i] > 1): 
            result = result + (mod[i]*(mod[i]-1))//2

    result = result + mod[0] 

    return result

在这个解决方案代码中，我没有得到mod 的角色。增加((cumSum % k)+k)% kth 数组的数量有什么作用？

如果这可以很容易地逐步解释，那就太好了。谢谢。

【问题讨论】：

标签： python algorithm

【解决方案1】：

你熟悉整数模/余数运算吗？

 7 modulo 3 = 1 because  
 7 = 2 * 3 + 1
 compare
 N % M = r 
 because N might be represented as
 N = q * M + r
 here r is remainder and q is result of integer division like
 7 // 3 = 2

对于模 k 可能有 k 不同的余数 0..k-1

mod 数组包含所有可能余数的计数器。当计算每个子范围和的余数时，相应的计数器会递增，因此得到的 mod 数组数据看起来像 [3,2,5,0,7] 三个零余数，两个余数等于 1...

【讨论】：