[1 2 .. N] 排列的最长递增子序列

Question

问题来了：

给定一个包含 N 个元素（1 到 N）的数组，使用一个约束对数组进行排序：您只能将一个元素移动到数组的开头或数组的结尾。你至少需要多少步才能对数组进行排序？

例如：2 5 3 4 1 => 1 2 5 3 4 => 1 2 3 4 5，所以我至少需要两步。

我想出了一个解决方案：N - length of longest increasing subsequence，在上面的例子中，答案是5 - 3 = 2。

我知道一个O(NlogN) 算法来查找最长递增子序列 (LIS)。但是由于数组中的元素在[1, N] 中，我想知道是否有O(N) 解决方案来查找数组的LIS？

或者，鉴于我们知道元素是从 1 到 N，是否有 O(N) 解决方案来解决初始问题？

Answer 1

您正在寻找的是最长的递增序列，其中任意两个连续元素之间的差为1。

仅找到最长的递增序列是不够的，例如 1 5 3 4 2 最长的 inc seq 的长度为 3 但据我所知，问题只能在 3 步骤而不是 2 中解决.

要找到最长的 inc seq，其中 O(N) 时间和 O(N) 空间中的差异是 1，可以通过分配一个大小为 N 的 helper 数组来完成，例如，初始化为所有 0。这个数组将存储在位置i 上最长子序列的长度i，如果还没有看到i，它将是0。

然后你遍历未排序的数组，当你找到一个元素 x 时，你设置 helper[x] = helper[x-1] + 1 并更新一个 max 变量。

最后，排序的成本是input_array.length - max

例子：

array:   3 1 2
         0 1 2 3
helper:  0 0 0 0
max = 0

step 1:
check element at position 1 which is 3. helper[3] = helper[3 - 1] + 1 == 1:
          0 1 2 3
helper:   0 0 0 1
max = 1

step 2:
check element at position 2 which is 1. helper[1] = helper[1 - 1] + 1 == 1:
          0 1 2 3
helper:   0 1 0 1
max = 1

step 3:
check element at position 3 which is 2. helper[2] = helper[2 - 1] + 1 == 2:
          0 1 2 3
helper:   0 1 2 1
max = 2

cost = 3 - 2 = 1