寻找方链排列的算法

Question

如果连续数字的总和始终是完全平方，则排列是方链的。例如，

8 1 15 10 6 3 13 12 4 5 11 14 2 7 9 16

是数字 1 到 16 的平方链排列。我想编写一个程序来找到数字 1 到 n 的平方链排列，其中 n 从 1 到 100。

最简单的做法是按字典顺序遍历 n 的所有排列（我知道怎么写）并检查方链条件，但这对于 n 大需要很长时间。

一个稍微好一点的方法是一次选择一个排列中的数字，检查以确保我刚刚选择的数字在与前一个数字相加时是一个正方形，并希望我能坚持到最后。不过，我必须备份很多，而且我认为这不会很有效。

有没有更好的方法？另外，这是一个众所周知的问题吗？感谢您的帮助。

Answer 1

有趣的问题；我会拍的。将问题重新表述为TSP。

制作一个图表，其中节点是从 1 到 100 的整数（您考虑的最大值 n）。现在连接i 和j 如果i+j 是一个完美的正方形。问题是：“是否有一个 Hamiltonian path 到节点 1 到 n？”

制作一次图表，也许你可以调整i 的路径，一旦你将它包含在i+1 中。

这是 14 以内的图表：

                   13 --(25)-- 12 --(16)-- 4 --(9)-- 5 --(16)-- 11
                    |                                           |
                  (16)                                         (25)
                    |                                           |
8 --(9)-- 1 --(4)-- 3 --(9)-- 6 --(16)-- 10                     14
                                                                |
                                                               (16)
                                                                |
                                           9 --(16)-- 7 --(9)-- 2

直到添加 14 才连接图，即使添加 14 后也没有哈密顿路径。这是绘制添加 15 的图形的一种可爱方法，它可以轻松地显示如何在仍然具有哈密顿路径的情况下添加 16 和 17：

    12  11  10  09  08
13
                    07
14
                    06
15
                    05
    01  02  03  04

把它画在方格纸上，把对角线和对角线连接起来（例如 12-13、14-11、... 和 09-07、10-06、...），它们是相加的方式对得到 9 或 16。在这里，我忽略了 1 和 3 之间的边缘，因为它没有帮助。想象一下，沿着对角线从 8 到 1 射一个球，当它击中一个数字时，它会以直角弹开。球沿着你给定的哈密顿路径行进（有 16 个掉落）。

要获得 16 的路径，只需将其添加到左下角即可。要获得 17，请将其固定在球进入 8 的路径上。

有一些合理的算法可以找到哈密顿路径，而且这种方法很可能比根据您建议的任何一种方法检查每个 n 更快。

我发现n <= 25 的解决方案只存在于 15、16、17、23、25。瞧！ This sequence is in OEIS。根据该页面，推测所有n > 24都存在解决方案，因此显然这个问题是已知的，尽管我不一定称它为众所周知的。