图 - 单源最长路径的 Dijkstra答案

【问题标题】：graph - Dijkstra for The Single-Source Longest Path图 - 单源最长路径的 Dijkstra
【发布时间】：2012-05-05 14:21:49
【问题描述】：

好的，因为这个练习，我发布了这个问题：

我们可以修改 Dijkstra 的算法，通过将最小值更改为最大值来解决单源最长路径问题吗？如果是这样，那么证明你的算法是正确的。如果不是，请提供一个反例。

对于这个练习或所有与 Dijkstra 算法相关的事情，我假设图中没有负权重。否则，它没有多大意义，因为即使对于最短路径问题，如果存在负边缘，Dijkstra 也无法正常工作。

好的，我的直觉回答了我：

是的，我认为可以修改。

我只是

将距离数组初始化为 MININT
将distance[w] > distance[v]+weight 更改为distance[w] < distance[v]+weight

然后我做了一些研究来验证我的答案。我找到了这篇文章：

Longest path between from a source to certain nodes in a DAG

首先我认为我的答案是错误的，因为上面的帖子。但是我发现上面帖子中的答案可能是错误的。它将单源最长路径问题与最长路径问题混为一谈。

同样在Bellman–Ford algorithm的wiki中，它说的很对：

Bellman-Ford 算法计算加权有向图中的单源最短路径。 对于只有非负边权重的图，更快的 Dijkstra 算法也解决了这个问题。因此，Bellman-Ford 主要用于具有负边权重的图。

所以我认为我的答案是正确的，对吧？ Dijkstra 真的可以是单源最长路径问题，而且我的修改也是正确的，对吧？

【问题讨论】：

@Kristo，你能看看吗？

标签： algorithm data-structures graph dijkstra

【解决方案1】：

不，我们不能¹ - 或者至少，不知道多项式减少/修改 - longest path problem 是 NP-Hard，而 dijkstra 在多项式时间内运行！

如果我们可以找到对 dijsktra 的修改来回答多项式时间内的最长路径问题，我们可以推导出 P=NP

如果不是，请举个反例。

这是一个非常糟糕的任务。反例可以提供一个特定的修改是错误的，而可能有一个不同的修改是好的。
事实是我们不知道最长路径问题是否可以在多项式时间内解决，但一般假设是 - 它不是。

关于只是改变松弛步骤：

        A
       / \
      1   2
     /     \
    B<--1---C
edges are (A,B),(A,C),(C,B)

来自 A 的 dijkstra 将首先选择 B，然后 B 永远无法到达 - 因为它不在 distances 的集合中。

至少，还必须将 min heap 更改为 max heap，但它会有一个不同的反例为什么会失败。

(1) 可能，如果 P=NP 有可能，但可能性很小。

【讨论】：

阿米特，这就是我在我的问题中所说的。我认为最长路径问题与单源最长路径问题不同。在Longest Path problem 中，我们需要在整个图中找到一条最长的路径。但在我上面的问题中，single sourced 表示我们得到一个顶点 S，然后找出从 S 出发的最长路径。它们是不同的问题，对吧？
啊，好吧，我想我弄错了。如果可以解决单源最长路径问题，那么我们只需对每个顶点进行单源最长路径，然后将它们全部比较，然后解决最长路径问题。这是不可能的，因为最长路径问题是 NP。好吧，我猜我想错了。
@JacksonTale：dijkstra 算法背后的想法是进行局部松弛。请注意，在 dijkstra 的算法中，当从节点列表中挑选距离最小的节点并将其删除时，没关系，我们永远不需要再次修改它，而对于最大问题 - 这是不正确的。
@JacksonTale：我相信存在修改，但我现在想不出。然而，正如您已经知道的那样，我更喜欢减少现有算法的问题，而不是修改算法。在这种情况下，我将创建一个新的权重函数w'(e) = -w(e)，并使用w' 调用Bellman Ford。由于图是有向无环图，没有环，特别是没有负环，BF会根据w'返回最短路径，也就是w下的最长路径！你怎么看？这也适合您的问题吗？
这个答案不准确。正确的是，一般来说，Dijkstra 不能用于查找最长路径，但是 Dijkstra 可以找到一个图的子集：如果给定图 G 上的所有边都是非正的，则可以通过否定所有边将G 转换为-G。在这种情况下，Dijkstra 在-G 中找到的最短路径对应于G 中的最长路径

【解决方案2】：

是的，我们可以。你的答案几乎是正确的。除了一件事。

您假设没有负权重。在这种情况下，Dijkstra 算法无法找到最长路径。

但是如果你假设只有负权重，你可以很容易地找到最长的路径。为了证明正确性，只需取所有权重的绝对值，就可以得到具有正权重的通常 Dijkstra 算法。

【讨论】：

我认为你的回答是在耍花招。如果我只假设负权重，那么最长的路径就像shortest path in all positive weights。我不认为这是消费税所寻求的。
@JacksonTale，是的，这只是一个把戏。但从消费税文本中不清楚，这是什么意思。否则，阿米特的回答很好。
感谢您的回答。我猜消费税的真正含义是真正的最长路径问题。我不好添加这样的假设。
将 Dijkstra 用于非正数权重的想法非常有趣。特别是，当我们需要找到所有边权重均为 -ve 或零的图 G 的最长路径时，更明智的做法是在变换后的图 G' =(-G) 上应用 Dijkstra 而不是 Bellman-Ford，以便获得更好的运行时间。

【解决方案3】：

它适用于有向无环图，但不适用于循环图。由于路径会回溯，并且在 dijkstra 的算法中无法避免这种情况

【讨论】：