如何设计一个时间复杂度为 O(n log n) 的搜索算法？答案

【问题标题】：How to design a search algorithm with time complexity O(n log n)?如何设计一个时间复杂度为 O(n log n) 的搜索算法？
【发布时间】：2013-08-27 16:40:16
【问题描述】：

描述一个 O(n log n) 时间的算法，给定 n 个整数的集合 S 和另一个整数 x，确定S 中是否存在两个元素之和正好为 x。

我打算为此使用二分搜索。

ALGORITHM(S,x)
S=Insertion-Sort()
for i=1 to S.length
   n=x-S[i]
   if( Binary-Search(S,n) == true)
      return { S[i],n }


Binary-Search(A, v)
low=1
high=A.length

while low ≤ high
   mid=(low+high)/2

   if v = A[mid]
     return mid
   if v > A[mid]  
      low ← mid+1
   else
      high ← mid−1
 return NIL

我如何找到这个算法的时间复杂度？如果 T(n) 不是 (n log n)，那么正确的算法是什么？

【问题讨论】：

尝试上课和上班。
首先，要在O(nlogn) 中完成您的任务，您必须使用具有该时间复杂度的排序算法（例如归并排序）。然后，您可以利用数组已排序的事实在O(n) 中完成您的任务（想想如何，您不需要二进制搜索）。总体复杂度将是两种算法中最高的（因为它们是按顺序完成的），即O(nlogn)。

标签： algorithm time logarithm

【解决方案1】：

算法的整体顺序由各个部分的最高顺序决定。您从插入排序开始，其 worst-case performance is O(n^2) 所以您已经失败了。

如果您要用 O(n log n) 版本替换排序算法，那么您必须查看剩下的内容。您有一个长度为 n 的循环，其主体调用二进制搜索。正确编码的二进制搜索是 O(log n)，因此结果应该是 O(n log n)。添加两个 O(n log n) 进程仍然会给您留下 O(n log n)。

还有另一种更快的方法来执行第二步，但我会留给你去发现。不会影响整体效果。

【讨论】：

如你所说，从主for循环调用n次的二分查找时间复杂度为n logn .如果我使用 Merge-Sort 代替插入排序，那么我的总时间将是 nlogn + nlogn，即 2 nlogn，因为 Merge-的 T(n)排序是 nlogn。对吗？
@Ghost，你是对的，除了在 O() 表示法中常量被删除 - 因此 2n log n 与 n log n 相同。

【解决方案2】：

正如其他答案指出的那样，您可以首先使用 O(n log n) 排序，然后在每个元素的 O(log n) 时间内搜索每个元素的补码，因此加起来为 O( n log n) 总体。

但是，我认为您也可以执行以下操作来获得 O(n) 算法。

请注意，如果两个数之和为 x，则其中一个必须 >= x/2，另一个必须为

现在为下部数组中的所有元素 i 构建一个 x-i 哈希表。这又需要 O(n) 时间。

现在在每次查找的恒定时间内搜索哈希表中高数组中的每个元素。因此，这也是 O(n)。

因此，总体复杂度为 O(n)。

【讨论】：

【解决方案3】：

对于每个元素i：

如果x-i 在哈希表中，我们有我们的总和（i 和x-i）
将i 插入到哈希表中。

总运行时间 - O(n)。

【讨论】：