混合整数规划可以解决多少个决策变量？答案

【问题标题】：How many decision variables can be solved for Mixed Integer Programming?混合整数规划可以解决多少个决策变量？
【发布时间】：2016-03-16 05:18:46
【问题描述】：

我有一个混合整数规划问题（二进制整数变量），我可以解决多少个变量，即上限以及需要多少时间？

该问题将具有最大 5 个约束和最小化成本函数，但变量采用 m*n 矩阵的形式。那么，问题是 m 和 n 的最大值是多少，以及完成计算所需的时间？

使用标准软件/库，如 COIN CBC、GLPK、CPLEX、GUROBI。

【问题讨论】：

如果您有最多 5 个约束，那么 m 和 n 是什么？
m * n 是决策变量矩阵，而不是约束，我定义约束，求解器使用 mn 变量解决问题，并为我提供最佳变量作为解决方案。市场上的求解器可以求解的m的最大尺寸是多少？

标签： linear-programming cplex glpk integer-programming coin-or-cbc

【解决方案1】：

真的可以使用市场上可用的开源/商业求解器来解决它吗？

简短回答：是的，可以使用数百万个决策变量来解决 MIP。

理论

一般来说，MIP 是NP-hard problem，不能在多项式时间 O(n^k) 内求解。此外，确定 MIP 问题的输入“n”是什么不简单。是不是。行、列或它们的乘积，矩阵的性质A，决策变量的性质，MIP 和松弛 LP 之间的差距？

如果IP公式（Ax = b），矩阵A是totally unimodular，所有系数都是整数，那么LP松弛的解也是IP的解，因此你的问题的复杂度是多项式。

如果不是，那么在一般情况下，您应该认为问题是 NP 难的。作为一个经验法则，变量越多，约束越多，问题就越难。

练习

MIP/LP 求解器可以使用各种技术/算法在合理的时间内（以小时为单位）解决任何问题，特别是如果您不是在寻找“最佳”整数解决方案并且愿意接受接近最优的解决方案。

没有固定的大小限制 - Gurobi 优化器通常会求解具有数百万个变量和约束的模型，即使在标准笔记本电脑和台式电脑上也是如此。更重要的是，您可以在 Gurobi 的性能中看到结果，尤其是在更大、更困难的模型上。事实上，Gurobi 最近求解了 MIPLIB2010 库中的 11 个模型，这些模型以前没有被任何其他求解器求解过。

来源：http://www.gurobi.com/products/gurobi-optimizer

特殊 MIP 问题

可以使用特殊技术来解决 MIP 的特殊实例。

Cutting stock problem
bin packing problem : 下料问题的特例。

我编写了简单的列生成算法来解决切割库存问题。见https://github.com/vcphub/cspsol

【讨论】：

是的，确切地说，我想问的是，我有一个 MIP 问题，我尝试使用 Excel 解决它，它在 200 个变量（~50 分钟）后达到最大值，但我想扩展它到 1M+ 决策变量（大约 2-3 小时）。是否真的可以使用市场上可用的开源/商业求解器来解决它？
是的，它可能是可能的。但是，如果您使用的是免费/开源求解器，您将不得不幸运地“开箱即用”地解决它。如果您的问题具有良好的结构和良好的数值特征，则可能没问题。但它可能不是 - 我目前有一个问题，它只有大约 27k 个整数变量，并且合理的服务器上的 CPLEX 在某些情况下无法在 8 小时内找到整数解。如果您可以使用求解器（如列生成、Benders 或 VLNS）实现一些巧妙的技术，您可能会获得更好的性能并解决更大的问题。顺便说一句：Excel 求解器非常弱。
是的，excel 是其他商业求解器中较弱的选择，我的问题是复杂度较低的简单问题，但数据量很大。我有一个成本矩阵 (A) 并想生成一个二进制整数矩阵 (B)。所以，我想最小化 AxB 并且唯一的约束是变量矩阵中每一行的总和是，这意味着该行中只有一个值应该是 1 而其他应该是零。
您是否正在处理装箱问题？ en.wikipedia.org/wiki/Bin_packing_problem
不。这是一个命令存储分配问题。但我也做过 bin 打包工作，它实际上使用二叉搜索树来进行高效的 2D 打包。它与用于 MIP 的分支和切割方法非常相似。