A 和 B（含）之间数字之和等于 S 的数字计数

Question

问题是找出 A 和 B（含）之间数字之和等于 S 的数字的计数。

同时打印 A 和 B（含）之间的最小数字。

输入：

由 A,B,S 组成的单行。

输出：

两行。

在第一行中，A 和 B 之间数字和等于 S 的整数个数。

第二行是 A 和 B 之间最小的数字。

约束：

1

1

来源：Hacker Earth

我的解决方案仅适用于他们输入的 30 pc。什么是最好的解决方案？

我现在使用的算法计算最小数字的总和，然后在十位数字的每次变化时再次计算总和。 以下是 Python 中的解决方案：

def sum(n):
    if (n<10):return n
    return n%10 + sum(n/10)

stri = raw_input()

min = 99999
stri = stri.split(" ")

a= long  (stri[0])
b= long  (stri[1])
s= long  (stri[2])

count= 0
su = sum(a)

while a<=b :        
if (a % 10 == 0 ):
    su = sum(a)
    print a 
if ( s == su):
    count+=1
    if (a<= min):
        min=a 
a+=1
su+=1
print count 
print min 

Answer 1

这里有两个单独的问题：找到具有正确数字和的数字之间的最小数字，以及找到具有该数字和的范围内的值的数量。我将分别讨论这些问题。

用数字和 S 计算 A 和 B 之间的值。

解决这个问题的一般方法如下：

• 用数字和 S 计算小于或等于 A - 1 的值的数量。
• 用数字和 S 计算小于或等于 B 的值的个数。
• 从第二个数字中减去第一个数字。

为此，我们应该能够使用动态编程方法。我们将尝试回答以下形式的查询：

有多少个D位数字，第一个数字是k，谁的数字总和是S？

我们将创建一个表 N[D, k, S] 来保存这些值。我们知道 D 最多为 16，S 最多为 136，因此该表将只有 10 × 16 × 136 = 21,760 个条目，这还不错。要填写它，我们可以使用以下基本情况：

• N[1, S, S] = 1 表示 0 ≤ S ≤ 9，因为只有一个一位数的总和小于 10。
• N[1, k, S] = 0 for 0 ≤ S ≤ 9 if k ≠ S，因为第一个数字不是特定总和的一位数的总和不会达到某个值。
• 对于 10 ≤ S ≤ 135，N[1, k, S] = 0，因为对于任何大于一位数的 k，没有一位数的总和恰好等于 S。
• 对于任何 S

然后，我们可以使用以下逻辑来填充其他表项：

• N[D + 1, k, S] = sum(i from 0 to 9) N[D, i, S - k]。

这表示第一个数字为 k 且总和为 S 的 (D+1) 位数字的数量由总和为 S - k 的 D 位数字的数量给出。总和为 S - k 的 D 位数字的数量由总和为 S - k 的第一个数字是 0、1、2、...、9 的 D 位数字的数量给出，所以我们有总结一下。

填写这个 DP 表只需要 O(1) 的时间，事实上，如果你真的很关心时间，你可以预计算它并将它硬编码到程序中。

那么我们如何使用这个表呢？好吧，假设我们想知道与 S 相加的数字有多少小于或等于某个数字 X。为此，我们可以一次处理一个 X 的数字。让我们一次将 X 写为 d₁ ... d_n。我们可以从 N[n, d₁, S] 开始。这为我们提供了第一个数字为 d₁ 且总和为 S 的 n 位数字的数量。这可能会高估小于或等于 X 且总和为 S 的值的数量。例如，如果我们的数字是 21,111，并且我们想要总和正好为 12 的值的数量，那么查找此表值将为我们提供像 29,100 这样以 2 开头且长度为五位的数字的误报，但仍然是大于 X。为了解决这个问题，我们可以移动到数字 X 的下一位数字。由于第一位数字是 2，所以该数字中的其余数字总和必须为 10。此外，由于 X 的下一位数字(21,111) 是 1，我们现在可以从总数中减去以 2、3、4、5、...、9 开头的 4 位数字，加起来为 10。然后我们可以重复这个过程一位数一次。

更一般地说，我们的算法如下。让 X 是我们的数字， S 是目标总和。写 X = d₁d₂...d_n 并计算以下内容：

# Begin by starting with all numbers whose first digit is less than d[1].
# Those count as well.
result = 0
for i from 0 to d[1]:
    result += N[n, i, S]

# Now, exclude everything whose first digit is d[1] that is too large.
S -= d[1]
for i = 2 to n:
    for j = d[i] to 8:
        result -= N[n, d[i], S]
    S -= d[i]

result 的值将是小于或等于 X 且总和正好为 S 的值的数量。该算法最多只能运行 16 次迭代，因此它应该非常快。此外，使用这个算法和前面的减法技巧，我们可以用它来计算 A 和 B 之间有多少个值加起来正好是 S。

求 [A, B] 中数字和 S 的最小值。

我们可以对我们的 DP 表使用类似的技巧来找到大于 A 且总和正好为 S 的最小数字。我将把细节留作练习，但作为提示，一次计算一个数字，试图找到 DP 表返回非零值的最小数字。

希望这会有所帮助！