评估函数的逆

Question

我需要在域 [0,1): 中评估这个函数的逆

有一个解析逆（我不会费心把它放在这里，因为它很大），但它只适用于常数 A 的有限范围，即如果 A>0.385f(x)。然后，我想到了两种可能的解决方案：

1. 使用 Newton-Raphson 方法（或任何其他求根方法）计算每个 f(x) 的 x；
2. 使用 sigmoid 函数逼近逆函数，并通过最小二乘法确定参数。

我倾向于（2），因为它看起来很简单并且不会像（1）那样减慢我的代码，但我对近似值的有效性不安全。我也很感激其他建议。

我的代码是 C++，如果有一些内置的方法可以解决我的问题。

Answer 1

虽然您建议的两种建议方法对于更一般的情况都很有趣，但此函数可以在分析上反转。

在 Mathematica 中，您可能会反转它并得到这个“错误”的答案：

正确的真实答案是平方根的绝对值。

这里有一个情节来说明这个“正确”答案的工作原理：

Answer 2

让y = Ax/(1-x**2)**(1/3)，然后y**3 = A**3*x**3/(1-x**2)，然后A**3*x**3 = y**3*(1-x**2)。这是一个三次方程。解决它，你会找到 x(y)。