找到最大可能值[关闭]

Question

给定数组的第一个和最后一个整数 a 和 b，以及数组的大小 -- n，其中n-1 >= |a-b|。 数组中相邻整数的差不超过 1。 在满足上述条件的所有可能的数组中，找出第一个和最后一个整数之间的数的最大值（不包括给定的第一个和最后一个整数）。

Example 1:
a = 3, b = 3, n = 5
Some possible arrays:
[3, 4, 5, 4, 3]
[3, 2, 1, 2, 3]
[3, 4, 4, 4, 3]
...
The maximum value is 5.

Example 2:
a = 5, b = 6, n = 5
Some possible arrays:
[5, 5, 5, 5, 6]
[5, 5, 6, 7, 6]
[5, 6, 7, 6, 6]
[5, 6, 7, 7, 6]
...
The maximum value is 7.

Example 3:
a = 8, b = 5, n = 4
[8, 7, 6, 5] -- the only array that can be formed
The maximum value is 7 (8 does not count since it is the first number that has been given).

Example 4:
a = 5, b = 8, n = 4
[5, 6, 7, 8] -- the only array that can be formed
The maximum value is 7 (8 does not count).

如何解决这个问题？我知道当 a == b 时该怎么做，但不确定其他情况。

Answer 1

说明

由于相邻整数的差异不能超过 1，因此您首先需要递增结束值 a 和 b 中的较低值，直到它们相等。

a = 3, b = 3, n = 5
[3, _, _, _, 3]

a = 3, b = 5, n = 5
[3, _, _, _, 5]
[3, 4, _, _, 5]
[3, 4, 5, _, 5]

a = 5, b = 3, n = 5
[5, _, _, _, 3]
[5, _, _, 4, 3]
[5, _, 5, 4, 3]

因此，您将为 2 个结束值使用 2 个空格，再加上一个 |a-b| 空格以“均衡”较大结束值处的值：

remain = n - 2 - Math.abs(a - b)

剩下的空格，需要从两边递增，所以只能递增remain / 2次，四舍五入：

incr = (remain + 1) / 2

这意味着可能的最大值是incr 大于最大最终值的数字：

max = Math.max(a, b) + incr;

全部合并：

max = Math.max(a, b) + (n - Math.abs(a - b) - 1) / 2

但是，有两种特殊情况：

• 如果 n = 2，则结束值之间将没有值，因此n <= 2 无效，因为没有答案。

• 如果有足够的空间从较低的值到达较高的值，例如a = 3, b = 7, n = 5: [3, 4, 5, 6, 7]，这意味着上面的第一步将失败，因为我们无法“均衡”较大最终值的值。在这种特殊情况下，最高非终值比最高终值低 1：

max = Math.max(a, b) - 1

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解决方案

所以，总而言之，计算最高非终值的代码是：

static int max(int a, int b, int n) {
    int extra = (n - Math.abs(a - b) - 1);
    if (n <= 2 || extra < 0)
        throw new IllegalArgumentException();
    return (extra == 0 ? Math.max(a, b) - 1 : Math.max(a, b) + extra / 2);
}

性能是O(1)，因为结果是一个简单的计算，不需要实际构建数组来找到结果。

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测试

public static void main(String[] args) {
    test(3, 3, 5); // max from question: 5
    test(5, 6, 5); // max from question: 7
    test(8, 5, 4); // max from question: 7
    test(5, 8, 4); // max from question: 7
    test(3, 5, 5);
    test(5, 3, 5);
    test(3, 7, 5);
    test(3, 7, 6);
    test(3, 7, 7);
    test(3, 7, 8);
    test(3, 7, 9);
}
static void test(int a, int b, int n) {
    System.out.printf("a = %d, b = %d, n = %d: The maximum value is %d. %s%n",
                      a, b, n, max(a, b, n), Arrays.toString(fill(a, b, n)));
}
static int[] fill(int a, int b, int n) {
    int[] v = new int[n];
    int i = 0, j = n - 1;
    v[i] = a;   v[j] = b;
    for (; v[i] < v[j]; i++)
        v[i + 1] = v[i] + 1;
    for (; v[i] > v[j]; j--)
        v[j - 1] = v[j] + 1;
    for (; i + 1 < j; i++, j--)
        v[i + 1] = v[j - 1] = v[i] + 1;
    return v;
}

输出

a = 3, b = 3, n = 5: The maximum value is 5. [3, 4, 5, 4, 3]
a = 5, b = 6, n = 5: The maximum value is 7. [5, 6, 7, 7, 6]
a = 8, b = 5, n = 4: The maximum value is 7. [8, 7, 6, 5]
a = 5, b = 8, n = 4: The maximum value is 7. [5, 6, 7, 8]
a = 3, b = 5, n = 5: The maximum value is 6. [3, 4, 5, 6, 5]
a = 5, b = 3, n = 5: The maximum value is 6. [5, 6, 5, 4, 3]
a = 3, b = 7, n = 5: The maximum value is 6. [3, 4, 5, 6, 7]
a = 3, b = 7, n = 6: The maximum value is 7. [3, 4, 5, 6, 7, 7]
a = 3, b = 7, n = 7: The maximum value is 8. [3, 4, 5, 6, 7, 8, 7]
a = 3, b = 7, n = 8: The maximum value is 8. [3, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 7]
a = 3, b = 7, n = 9: The maximum value is 9. [3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 8, 7]

Answer 2

看起来像家庭作业，所以只是一个想法：

尝试在数组中绘制值图。请注意，具有所描述属性的数组可能看起来像锯齿，但当绘图包含唯一的峰值时，最大的内部值是可能的。

如果端点差异太大（您的最后一个示例），则最大值位于较大的末端邻居处，否则尝试使用最大峰值构建图 - 请注意可能的斜率仅为 -1，+1（也许奇数 n 值的单个普通步骤）