使用回溯的 N Queen 的时间复杂度？答案

【问题标题】：Time complexity of N Queen using backtracking?使用回溯的 N Queen 的时间复杂度？
【发布时间】：2014-01-11 06:38:07
【问题描述】：

#include<stdio.h>
#include<math.h>

void printboard(int n);
void fourQueen(int k,int n);
int place(int k,int i);
int x[100];

void NQueen(int k,int n)
{
  int i;
  for(i=1;i<=n;i++)
  {
    if(place(k,i)==1)
    {     x[k]=i;
            if(k==n)
            {
                printf("Solution\n");
                printboard(n);
            }
            else
                NQueen(k+1,n);
    }
  }
}

int place(int k,int i)
{
  int j;
  for(j=1;j<k;j++)
  {
    if((x[j]==i)||abs(x[j]-i)==abs(j-k))
        return 0;
  }
  return 1;
}

void printboard(int n)
{
  int i;
  for(i=1;i<=n;i++)
    printf("%d  ",x[i]);
}

void main()
{
    int n;
    printf("Enter Value of N:");
    scanf("%d",&n);
    NQueen(1,n);
}

我认为它有时间复杂度：O(n^n)，因为 NQueen 函数是递归调用的，但是这个程序有没有更严格的界限？最好的情况和最坏的情况时间复杂度怎么样。我也对 O(k) 和从 NQueen() 调用的 place() 函数感到困惑。

【问题讨论】：

标签： c algorithm n-queens

【解决方案1】：

有很多优化可以提高算法的时间复杂度。

这些链接中有更多信息：

【讨论】：

【解决方案2】：

对于您的函数T(n) = n*T(n-1) + O(n^2)，它大约转换为O(N!) 时间复杂度。

【讨论】：

请解释一下 O(n^2) 是怎么来的？
@tan 在 if 语句中你正在检查 place() 这是 O(N) 并且 for 循环是 O(N) 因此 O(N^2)。
@nhahtdh O(N!)
@VikramBhat：对不起，我在脑海中展开并犯了一个错误。评论已删除。
你提到了Avalage？那么最坏情况的时间复杂度是多少？请帮忙

【解决方案3】：

N-QUEEN 问题的时间复杂度是

> O(N!)

说明：如果我们将所有这些加起来并将运行时间定义为 T(N)。那么 T(N) = O(N2) + N*T(N-1)。如果您使用此递归绘制递归树，则最终项将类似于 n3+ n!O(1)。根据 Big O 的定义，这可以减少到 O(n!) 的运行时间。

【讨论】：

请解释原因。
如果我们将所有这些加起来并将运行时间定义为 T(N)。那么 T(N) = O(N2) + N*T(N-1)。如果您使用此递归绘制递归树，则最终项将类似于 n3+ n!O(1)。根据 Big O 的定义，这可以减少到 O(n!) 的运行时间。

【解决方案4】：

O(n^n) 绝对是使用回溯解决 n-queens 的上限。我假设您通过分配皇后column-wise 来解决这个问题。但是，请考虑这一点 - 当您在第一列中分配女王的位置时，您有 n 个选项，之后，您只有 n-1 个选项，因为您不能将女王与第一个女王放在同一行，然后是 n-2 等等。因此，最坏情况的复杂度仍然是 O(n!) 的上限。

希望这能回答你的问题，即使我迟到了将近 4 年！

【讨论】：

【解决方案5】：

复杂度为n^n，这里是解释

这里 n 代表皇后的数量，并且对于每个函数调用都将保持不变。 K 是行号，函数将被调用次数，直到 k 达到 n。如果 n=8，我们有 n 行和 n 个皇后。

T(n)=n(n+t(max of k - 1))=n^max of k=n^n 因为 k 的最大值是 n。

注意：该函数有两个参数。在循环中，n不递减，对于每个函数调用它都保持不变。但是对于函数被调用的次数，它是递减的，因此递归可以终止。

【讨论】：

【解决方案6】：

让我们考虑一下我们的女王是一个车，这意味着我们不需要处理对角线冲突。

这种情况下的时间复杂度在最坏的情况下将是O(N!)，假设我们正在寻找是否存在任何解决方案。这是一个简单的解释。

让我们举一个 N=4 的例子。

假设我们要填充二维矩阵。 X 表示空缺职位，1 表示已占用职位。

在开始时，答案矩阵（我们需要填充）看起来像，

X X X X
X X X X
X X X X
X X X X

让我们逐行填充，意思是在每一行中选择一个位置，然后前进到下一行。

对于第一行，由于整个矩阵都没有填充，所以我们有4 options。对于第二排，我们有3 options，因为其中一排已经被取消。同样，对于第三行，我们有2 options，对于最后一行，我们只剩下1 option。

总选项 = 4*3*2*1 = 24 (4!)

现在，如果我们的蜂后是车，情况就是这样，但因为我们有更多的限制，以防蜂后。就实际操作数而言，复杂度应小于O(N!)。

【讨论】：