向方向向量添加随机传播

Question

假设我有一个单位向量 a = Vector(0,1,0)，我想在 x = Vector(-0.2,0,-0.2) 和 y = Vector(0.2, 0,0.2)，我该怎么做呢？

如果我只是在 x 和 y 之间生成一个随机向量，我会在正方形边界的某个地方得到一个值：

我想要的是由 x 和 y 组成的圆圈内的值：

这似乎是一个简单的问题，但我现在无法找到解决方案。任何帮助将不胜感激。

（我没有在 mathoverflow 上问这个问题，因为这不是一个真正的“研究级数学问题”）

Answer 1

如果我正确阅读了您的问题，您需要一个随机方向的向量，该向量在特定长度（圆的半径）内。

圆的公式是：x² + y² = r²

所以，如果你有一个最大半径 r，它限制了矢量长度，也许可以这样处理：

1. 为 x 选择一个随机值，介于 -r 和 +r
2. 根据您选择的 x 计算随机化 y 的限制，因此 y_lim = sqrt(r ² - x²)
3. 最后，在 -y_lim 和 +y_lim 之间选择一个随机值 y

这样，您在 x 中得到一个随机方向，在 y 中得到一个随机方向，但向量长度将保持在 0 到r 等将被限制在该半径的圆内。

在您的示例中，似乎 r 应该是 sqrt(0.2²) 大约是 0.28284 .

更新

由于 3D 向量具有长度（或大小）sqrt(x²+y²+z²) 您可以将该技术扩展到 3D，尽管我可能更喜欢不同的方法（这也适用于 2D）。

1. 通过选择 any x、y 和 z 来选择随机方向
2. 计算震级m = sqrt(x²+y²+z²)
3. 归一化方向向量（通过将每个元素除以其大小），因此 x = x/m、y = y/m、z=z /米
4. 现在选择一个随机长度，L 介于 0 和 r 之间
5. 按随机长度缩放方向矢量。所以 x = x * L、y = y * L、z = z * L