用子区间查找区间的最小覆盖答案

【问题标题】：Finding the minimal coverage of an interval with subintervals用子区间查找区间的最小覆盖
【发布时间】：2008-11-15 22:41:08
【问题描述】：

假设我有一个区间 (a,b) 和多个子区间 {(a_i,b_i)}_i其并集是 (a,b) 的全部。有没有一种有效的方法来选择这些子区间的最小基数子集，它仍然覆盖 (a,b)？

【问题讨论】：

您是在寻找最少数量的子区间，还是寻找元素最少（因此重复次数最少）的子区间集？

标签： algorithm optimization math geometry

【解决方案1】：

从 a 或 b 开始的贪心算法总是给出最优解。

证明：考虑覆盖a的所有子区间的集合S_a。显然，其中之一必须属于最优解。如果我们用右端点 b_max 的 S_a 的子区间 (a_max,b_max) 替换它在 S_a 中最大（到达最右边），剩余的未覆盖区间 (b_max,b) 将是最优解的剩余区间的子集，所以它不能被比最优解的类似未覆盖区间更多的子区间覆盖。因此，由 (a_max,b_max) 和剩余区间 (b_max,b) 的最优解构成的解也将是最优的。

所以，只需从 a 开始，然后迭代地选择到达最右边的区间（并覆盖前一个区间的末尾），重复直到你点击 b。我相信如果您将区间存储在扩充区间树中，则可以在 log(n) 中选择下一个区间。

【讨论】：

您能否详细说明：“剩余的未覆盖区间 (bmax,b) 将是最优解的剩余区间的子集”？
@JFS：假设最优解以覆盖 (a,bi) 的区间 (ai,bi) 开始，并且不覆盖 (bi,b)。根据 (amax,bmax) 的定义，我们有 bmax>=bi，所以 (bmax,b) 是 (bi,b) 的子集（子区间）。
"如果我们用 Sa 中的子区间 (amax,bmax) 替换它..."：您的意思是子区间 (amin, bmax) 吗？我也不太确定 (bmax, b)。
@user183037 'max' 只是整个区间的索引。间隔 'foo' 是 (a_foo,b_foo)。 (b_max,b) 是剩余区间。

【解决方案2】：

听起来像动态编程。

这里是算法的说明（假设间隔在一个按结束时间排序的列表中）：

//works backwards from the end
int minCard(int current, int must_end_after)
{
    if (current < 0)
        if (must_end_after == 0)
            return 0; //no more intervals needed
        else
            return infinity; //doesn't cover (a,b)

    if (intervals[current].end < must_end_after)
        return infinity; //doesn't cover (a,b)

    return min( 1 + minCard(current - 1, intervals[current].start),
                minCard(current - 1, must_end_after) );
           //include current interval or not?
}

但它也应该涉及缓存（记忆）。

【讨论】：

minCard() 旨在获得最小基数，但问题要求具有最小基数的子集。
它只是该算法的扩展，它还跟踪用于形成最佳值的子集。
@Artelius 你的算法的复杂度是多少？
最坏情况下的复杂度为 O(n^2)。例如，当所有区间的终点相同但起点不同时，所有这些起点都将传播回起点。贪婪的方法更好。

【解决方案3】：

有两种情况需要考虑：
情况1：在一个区间的结束时间之后没有重叠的区间。在这种情况下，选择开始时间最短、结束时间最长的下一个区间。 (amin, bmax)。
情况 2：有 1 个或多个间隔与您正在查看的最后一个间隔重叠。在这种情况下，开始时间无关紧要，因为您已经涵盖了这一点。所以优化完成时间。 (a, bmax)。

案例 1 也总是选择第一个区间作为最优集中的第一个区间（证明与 @RafalDowgrid 提供的相同）。

【讨论】：

问题中time 的头在哪里？

【解决方案4】：

您的意思是，子区间仍然以这样的方式重叠，使得 (a,b) 在所有点上都保持完全覆盖？

也许将子区间本身拆分为与其来源相关联的基本块，因此您可以列出每个基本块区间的选项，同时考虑子区间覆盖的其他区域。然后，您可以使用基于每个子子间隔的搜索，并且至少确保没有留下任何间隙。
然后需要搜索..有效..这会更难。

可以消除任何完全被另一组较小数字覆盖的区间集合，并在预处理后解决问题。
对整体的最小化不就是对至少一半的最小化吗？我不知道。

在日记中找到link，但无法阅读。 :(

这将是一个hitting set 问题，通常是 NP_hard。
也无法阅读this，但看起来是相反的问题。
无法阅读，但另一个 link 提到了拆分间隔。
Here 是有关几何优化问题的随机算法的可用参考。
此 pdf 的页面 35 有一个贪心算法。
Karp (1972) 的第 11 页提到 hit-set 并被大量引用。
谷歌result。研究很有趣，但我现在得走了。

【讨论】：