如何快速找到最大平均间隔？

Question

从整数数组A[N]，我想找到一个区间[i,j]，它的平均值为(A[i] + A[i + 1] + .. + A[j]) / (j - i + 1)。

区间(j - i + 1)的长度应该大于L.(L >= 1)

我以为是对每一个i~j计算一个平均值，但是这样做太慢了。（N太大了）

有比O(N^2) 更快的算法吗？或者我想知道是否存在一种随机方法。

Answer 1

有一个O(N*logC) 算法，其中C 与数组的最大元素值成正比。与近期论文中一些比较复杂的算法相比，该算法更容易理解，并且可以在短时间内实现，并且在实际应用中仍然足够快。

为简单起见，我们假设数组中至少有一个非负整数。

该算法基于二分查找。起初，我们可以发现最终的答案必须在[0, max(A)]的范围内，我们在每次迭代中将这个区间减半，直到它足够小（例如10^-6）。在每次迭代中，假设可用区间为[a,b]，我们需要检查最大平均值是否不小于(a+b)/2。如果是这样，我们得到一个更小的区间[(a+b)/2, b]，否则我们得到[a, (a+b)/2]。

现在的问题是：给定一个数字K，如何检查最终答案至少是K？

假设平均值至少为K，则存在一些i、j，这样(A[i] + A[i+1] + ... + A[j]) / (j - i + 1) >= K。我们将两边都乘以(j-i+1)，然后将右侧向左移动，得到(A[i] - K) + (A[i+1] - K) + ... + (A[j] - K) >= 0。

所以，让B[i] = A[i] - K，我们只需要找到一个区间[i, j] (j - i + 1 > L) 使得B[i] + ... + B[j] >= 0。现在问题是：给定数组B和长度L，我们要找到一个长度大于L的最大和的区间。如果最大和为>= 0，则原来的平均数K是可能的。

第二个问题可以通过线性扫描来解决。让sumB[0] = 0，sumB[i] = B[1] + B[2] + ... + B[i]。对于每个索引i，以B[i] 结束的最大和间隔为sumB[i] - min(sumB[0], sumB[1], ..., sumB[i-L-1])。当扫描i增加的数组时，我们可以动态维护min(sumB[0], ..., sumB[i-L-1])。

子问题的时间复杂度为O(N)。而且我们需要O(logC) 迭代，所以总复杂度是O(N*logC)。

附：这种“平均问题”属于称为fractional programming 的问题家族。类似的问题还有最小平均加权生成树、最小平均加权循环等。

附：再次。 O(logC) 是一个松散的界限。我认为我们可以通过仔细分析来减少它。