两个元素之间的最大差异等于解决最大子数组？

Question

在一本书（Introduction to Algorithm，但我不记得是哪一章）中我学会了解决两个元素之间的最大差异问题：

两个元素之间的最大差异使得更大的元素 出现在较小的数字之后。

示例：如果数组为 [2, 3, 10, 6, 4, 8, 1] 则返回值 应该是 8（10 和 2 之间的差异）。如果数组是 [ 7, 9, 5, 6, 3, 2 ] 那么返回值应该是 2（7 和 9 之间的差异）

等于解决最大子数组问题：

在一个数组中找到连续的子数组（至少包含一个 number) 的总和最大。

例如，给定数组 [−2,1,−3,4,−1,2,1,−5,4]，连续的 子数组 [4,−1,2,1] 的最大和 = 6。

为了解决两个元素之间的最大差异问题 [2,3,10,6,4,8,1]，它可以转换为数组的最大子数组问题：

[1,7,-4,-2,4,-7] 其中 1 是 2,3 之间的差值； 7是3,10之间的差异；等等

我想知道为什么。

Answer 1

假设数组A 的最大差异在元素A[i] 和A[j] 之间并且等于diff。

diff = A[j] - A[i]           (j > i)

我们还假设在A[i] 和[j] 之间存在N 元素。
您还可以通过以下方式获取值diff：

diff = (A[j]-A[j-1]) + (A[j-1]-A[j-2]) + ... + (A[i+2]-A[i+1]) + (A[i+1]-A[i])

您可能已经看到，每个(A[*]-A[*-1]) 代表差异数组中的一个元素。意思是总和最大的子数组等于每两个元素之间的最大差值。

一般：
让我们将 B 定义为 A 的差异数组。
对于每两个元素A[i]，A[j]当j>i：

A[j]-A[i]  =  B[i] + ... + B[j-1]  =  sum(B[k]) 
                                      for k=i to j-1