计算一个范围内可能的整数分区

Question

问题陈述：

给你两个数，分别是 A 和 S。编写一个程序，找出大于或等于 S 的数相加得到总和 A 的方式数。将结果打印为模 10 ^9+9。

例如如果 A 为 3 且 S 为 1，则有三种方法可以使用大于等于 S=1 的数字来实现 A=3。解决方案是 、 和 。 对于 A=9 和 S=3，解决方案将是 、、 和 。使用大于等于 3 的数字，共有 4 种方法得到 9。

我使用了以下方法。

1. 检查 (S>A/2) 是否只有一种解决方案。例如，如果 A=9 并且 S=5 那么只有一种解决方案是可能的，即 。
2. 如果条件 1 不成立，则创建一个列表并存储所有符合条件的 i S

3. 对于列表中的每个数字 i。

   3.1。而 A>=i

   3.1.1。将 A 减 i。

   3.1.2。如果 A>=i 则递增 count(count 存储总排列并且是 初始设置为 1)。

   3.1.3。 else 退出 while 循环。

这种方法具有二次时间复杂度。有没有更好的方法来解决这个问题？

Answer 1

我能够使用动态编程解决这个问题。这个问题类似于硬币找零问题，其中 sum 是我们拥有的总金额，而 d,d+1,d+2,..,sum 是我们可以用来实现 sum 的硬币。下面是我写的java代码。

private static int countPartitionsDP(int d, int sum){
    if(d>sum/2)
        return 1;
    if(d>sum)
        return 0;
    int coins=sum-d+1;
    int[][] dp=new int[coins][sum+1];
    for(int i=0;i<coins;i++){   //for sum=5 and d=2 number that we use to achieve sum is 2,3,4,5 i.e (i+d).
        for(int j=0;j<=sum;j++){
            if(j==0)    //sum=0 can be achieved in 1 way. dp[i][0]=1
                dp[i][j]=1;
            else if(i==0){
                if(j<(i+d)){    //if current sum j is less than current value of d i.e.(i+d).
                    dp[i][j]=0;
                }else{
                    dp[i][j]=dp[i][j-i-d];  //if sum is greater than current value of d then dp[i][j]=dp[i][j-d]
                }
            }else if(j<(i+d)){
                dp[i][j]=dp[i-1][j];
            }else{
                dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-i-d];
            }
        }
    }
    return dp[coins-1][sum];
}