最大子数组 - 运行时

Question

我目前正在分析 maximum subarray problem 的蛮力算法和分治算法（递归）。

使用蛮力算法，最坏情况的运行时间是 O(n^2)。 使用递归算法，最坏情况的运行时间为 O(n*log(n))。

但是对于直到某个常数（例如 k）的小输入，蛮力实际上更快，所以我想使用直到 k 的蛮力，然后再递归。

我不确定如何分析这个，即使用参数 n 和 k。 （插入/合并排序也有类似的问题，它需要 O(k^2*(n/k))=O(n*k)，所以我想我可以使用相同的结果但是......）。

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让我尝试重新表述，并使用 theta 表示法。

“在递归中使用蛮力算法的渐近运行时间是多少（使用 n 和 k 作为参数），其中蛮力比递归快到 k = 50。”

我必须同时包含参数 n 和 k，而递归树是我们迄今为止测试这些问题的唯一主题。

Answer 1

请记住，big-O 谈到算法的长期增长率。形式上，它表示对于足够大的 n，一个函数的行为小于另一个函数的某个常数倍数。这意味着，如果您确定常数 k 的任何选择，然后对 n ≤ k 使用 O(n²) 算法，对所有 n > k 使用 O(n log n) 算法，总体运行时间将是 O(n log n)，因为随着 n 增长到足够大，算法的行为完全取决于 O(n log n) 算法的行为。

也就是说，您应该研究Kadane's algorithm，这是一种使用dynamic programming 在O(n) 时间、O(1) 空间内解决此问题的算法，并且只需遍历数组一次。它几乎肯定会比您的任何一种方法都更快（实际上和渐近）。

希望这会有所帮助！