对冒泡排序复杂性的困惑答案

【问题标题】：Confusion on Bubble sort complexity对冒泡排序复杂性的困惑
【发布时间】：2016-07-12 13:52:26
【问题描述】：

从how to calculate Bubble sort Time Complexity 堆栈溢出我知道冒泡排序的最坏情况的复杂性是 Big Oh = n^2

但我的困惑是它的派生方式是

大哦 = n + n - 1 + n - 2 ... + 1 = (n(n + 1))/2 = O(n²)

现在方程 (n(n + 1))/2 = O(n²) 是矛盾的。

如果我取 n=10 那么 (n*(n + 1))/2 = 55 那么它为什么等于 n² 得出的结果是 100 它实际上接近它的一半所以我们不能说它是~.

请解开我的疑惑。

【问题讨论】：

你应该学习O的定义
从您提出的问题中，我感觉到您不熟悉大 O 表示法。在此站点上快速搜索以获取更多信息，看看是否对您有帮助。我可以确认这个数学确实是正确的。 :-)
“(n*(n + 1))/2 = O(n^2) 是矛盾的。”这是错误的，并不矛盾：(n*(n + 1))/2 是 in，不等于，O(n^2)。
@LoneWolf 如果用户回答了您的问题，请同时接受他的回答 (Accepting Answers: How does it work?)。如果不是，请说明什么仍未得到答复，这是 StackOverflow 的一个非常重要的部分，非常感谢。

标签： java algorithm sorting big-o

【解决方案1】：

来自wikipedia：

f(x) = O(g(x)) 当 x 趋于无穷大当且仅当存在一个正常数 M 使得对于所有足够大的 x 值，绝对值f(x)的最大是M乘以g(x)的绝对值。

所以在你的例子中有这样一个常数：如果我们取M = 3，那么对于所有n>0，不等式(n*(n + 1))/2 < 3*(n^2) 成立。

此外，此定义还表示：O(n^2) = O(n^2/180) = O(n^2 + n) 等等。

【讨论】：

【解决方案2】：

现在方程 (n*(n + 1))/2 = O(n^2) 是矛盾的。

不，不是。

因为它不是一个真正的方程式。

事实上，O(n^2) 确实是无限函数集 f(n) 的简写，每个函数都有以下属性：

limit ( n -> infinity ) of f(n)

^{（有更精确的表述方式……）}

直观地说，f(n) 是集合的成员O(n^2) 告诉我们f(n) 与n^2 成比例增长 因为n 得到真的大。

很容易证明f(n) = (n*(n + 1))/2是集合O(n^2)的成员

非正式地，当n 对这个f(n) 变得非常大时，等式的(n^2)/2 项占主导地位，n/2 消失得无足轻重。

【讨论】：

【解决方案3】：

时间复杂度的工作方式是您想找出函数在非常大的值下的行为方式。您替换 N 的值并不准确，但它是大值的近似值。例如，如果 N = 1,000,000 并且您的时间复杂度为 O(n+1)，那么 1,000,000 和 1,000,001 是否不同？

我们的想法是，您不要添加那些渐近增长最快的术语。所以在n*(n+1)/2 中，你会保留n^2，因为它增长最快。

【讨论】：

【解决方案4】：

确切地说，O(...) 是一组函数，而不是一个数字。有时有些人很懒，写x = O(y)而不是x \in O(y)。

您可以在此表的正式定义列中找到集合O(y)的确切定义：https://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation#Family_of_Bachmann.E2.80.93Landau_notations

这是什么非正式的意思？ O(f(x)) 包含以大致相同的速度增长的函数。
例如，如果您有 g(x) = n^2 + 5n - 7000，那么它在 O(n^2) 中，因为 n^2 是函数的主要部分（与确切定义相比）。

此外，常数因子也可以去除。所以，g(x) = 1000n^2 也在O(n^2) 中。

因此，O(...) 仅指示哪些变量以及依赖于多少变量。例如，存在一个输入（它可能非常大），其中函数n^2 大于100000000 * n。

因此，时间复杂度为O(n^2) 的算法通常不如O(n) 中的算法好。但是，这非常重要，实际上它可能更可取，因为第二种算法中的隐藏内容可能很大，以至于第一种算法更适合实际出现的输入大小。但是，输入大小有一个界限（可能非常大），第二个算法会变得更好，但实际上可能不会发生。

【讨论】：

【解决方案5】：

O 表示法旨在显示所需时间如何随着输入数量的增加而增长，因为输入的数量变大了。例如，假设有一段代码是 O(n)。如果我们将输入加倍，我们预计运行时间（大致）加倍。如果我们将其增加三倍，我们预计运行时间也会增加三倍。请注意，无论代码运行时的假设精确公式中可能存在任何因素，这都是正确的。

O(n^2) 也可以这样说：加倍会导致四倍等。

所以：

O(n^2) == O(1/2*n^2) == O(2*n^2) == 0(1000000000*n^2)

这是nice tutorial。

【讨论】：

【解决方案6】：

任何排序算法的复杂性都取决于比较。在冒泡排序中，我们已经看到总共有 N-1 次通过。在第一遍中，进行 N-1 次比较以将最高元素放置在正确的位置。然后在第 2 遍中，将第二高的元素放置在其位置。因此，要计算复杂度，我们必须计算算法所做的比较~

使用基本离散数学~

f(n)= (n-1)+(n-2)+(n-3)+.....+ 3 + 2 + 1

f(n)= n(n-1)/2

f(n)= n^2 + O(n) ~（导出复杂度时忽略常量）

f(n)= O(n^2)

因此冒泡排序的复杂性是 O(n^2)。这意味着执行冒泡排序所需的时间与n^2成正比，其中n是数组中的总元素。

【讨论】：