排序结果数组答案

【问题标题】：Sorting result array排序结果数组
【发布时间】：2010-12-29 05:01:27
【问题描述】：

我在 Adobe 面试中被问到这个问题：

我们有一个按升序排序的整数数组。我们还有 3 个整数 A、B 和 C。我们需要为数组中的每个元素x申请A*x*x + B*x + C，并返回对应的排序后的数组。

给我的例子：

Input array = -1 0 1 2 3 4
A = -1, B = 2, C = -1`

将公式应用于每个元素的结果 = -4 -1 0 -1 -4 -9
所以预期结果 = -9 -4 -4 -1 -1 0（已排序）

我最好的解决方案是应用公式并对其进行排序，从而得到O(nlogn) 解决方案。我不能做得更好。

任何改进它的指导都是有帮助的。

【问题讨论】：

按 O(logN) 时间排序？？不可以，应该是 O(N*LogN) 时间......从数学上证明，你不能在小于 O(NLogN) 的时间内对随机数集合进行排序
他期待 O(N) 解决方案。
@birryree：你必须利用这种情况的特殊性来意识到O(n) 是可能的。此外，元推理表明这个问题并不有趣，除非答案不是O(n log n)。
@birryree：当回复出现建议不那么出色的评论时删除 cmets 是蹩脚的。
@user556744：不要误会，这是对未来面试的真诚建议。您的解决方案太简单了。任何在算法课程中有过感触的人都可以想出它。这表明必须有一个更好的解决方案，或者这是一个糟糕的面试问题（因为否则它不会过滤好坏）。因为这不太可能是一个糟糕的面试问题，所以必须有一个更好的解决方案。此外，您没有使用转换是抛物线这一事实（它可能是 anything 并且您的解决方案仍然有效）。这表明您忽略了一些重要的事情。

标签： arrays algorithm sorting

【解决方案1】：

给出的等式是parabolic。因此，将其应用于排序数组的结果将产生一个数组，该数组将具有最大值/最小值，其左右的子数组已排序。

在您的情况下，最大值为0，其左侧的子数组[-4 -1]按升序排序，其右侧的子数组[-1 -4 -9]按降序排序。

您需要做的就是合并这些排序后的数组，这在时间上是线性的。

所以算法是：

对每个元素应用方程
查找最大值/最小值
合并子数组

【讨论】：

【解决方案2】：

您可以在O(n) 中执行此操作。求多项式的最小值发生在什么时候

2 * A * x + B = 0

这样

x_min = -B / 2 * A.

然后，遍历数组，直到找到最接近x_min 的整数。这是O(n)。从这里开始，根据|x_min - left| 是否小于或大于|x_min - right|，从该元素的左侧或右侧依次选择。按结果顺序返回在这些点处评估多项式的值。这是O(n)。

这假设A 是正数。否定A的情况同样可以处理。

例子：

input array = -1 0 1 2 3 4 A = -1, B = 2, C = -1

这里，最大值出现在x_max = -2 / 2 * -1 = 1。从输入数组中，最接近的值是第三个元素1。然后我们根据它们到1的距离依次按以下顺序挑选元素。

1, 0, 2, -1, 3, 4

然后，因为A 是负数，我们必须以相反的顺序运行这些

4, 3, -1, 2, 0, 1

并评估它们的多项式

-9, -4, -4, -1, -1, 0

完成。

请注意，我们正在利用抛物线的特殊性质。即，对于x 小于x_extreme 和A 为正，将多项式应用于此类x 是x 的递减函数。对于大于x_extreme 和A 正的x，将多项式应用于此类x 是x 的递增函数。（如果A 为负数，也适用类似的推理。）因此，将数组分成两部分，x 小于x_extreme，x 大于x_extreme。然后将多项式应用于这两个部分，最终得到两个排序的数组。现在将合并排序应用于这些排序数组。请注意，上面的描述实际上是归并排序。

【讨论】：

非常感谢您提供详细示例。
您的解决方案是最直观的解决方案，但实际上不需要在我们的数据数组中找到最小值/最大值。我们只是立即从末端开始，但可能希望检查每个点的一阶导数，看看我们是否跨越它或者我们的数组是否已经排序。

【解决方案3】：

解决方案是O(N)，虽然有助于理解曲线的形状，但无需执行任何微积分。

上面的答案是做最直观的事情，解方程找到最小值或最大值，然后拆分列表。

计算一阶导数是有好处的，但实际上不需要这样做，此时我们也不需要找到最大值或最小值。

只要知道它可以朝一个方向移动，然后再朝另一个方向返回，但永远不会改变方向超过一次。

我们将从每一端开始，从两边迭代，直到我们在中间的某个地方合并。在我们做任何其他事情之前，我们需要检查每一端的方向，我们将通过比较结束的两个元素来做到这一点。所以我们看看是一端向上移动，另一端向下移动。

如果我们有N 元素，假设我们有数据X[0] 和X[N-1]，那么计算f(X[0]) 和f(X[N-1]) 和f(X[1]) 和f(X[N-2])。如果f(X[0]) < f(X[1]) 和f(X[N-1]) > f(X[N-2]) 那么实际上我们所有的数据都是最大值/最小值的一侧，因此已经排序。如果比较是在另一个方向上，则相同。（一个方向可能需要反向）。

否则只需从两端执行合并，因此f(X[0]) 和f(X[N-1]) 是它们子范围的最大值或最小值（我们从前面的比较中知道）并从适当的方向创建合并列表。

应用于您的数据：

-1 0 1 2 3 4
A = -1, B = 2, C = -1`

f = [ -4, -1, 0, -1, -4, -9 ]

-4 < -1 和 -9 < -4 所以我们确实越过了点，我们在每一端都有最小值。

-9 is lower than -4
-4 and -4 are equal so push both
-1 and -1 are equal so push both
0 remains.

our sequence is [-9, -4, -4, -1, -1, 0 ]

【讨论】：

【解决方案4】：

您可以认识到将二次方应用于数据的结果几乎是排序的（如上面的答案中所述，或者通过认识到 n 次多项式的导数是连续的、n - 1 次的，并且具有最多 n 个零）。

因此，如果您的库中有一个排序例程可以巧妙地处理几乎已排序的数据（例如记住这一点的合并排序），您可以将数据扔给它并期望线性性能。在网上搜索发现Which sort algorithm works best on mostly sorted data? 指向http://svn.python.org/projects/python/trunk/Objects/listsort.txt。

【讨论】：