一端压力脉冲，波动方程答案

【问题标题】：Pressure-Impulse-at-One-End, Wave Equation一端压力脉冲，波动方程
【发布时间】：2014-10-23 13:35:46
【问题描述】：

我正在尝试使用 Mathematica 以数字方式解决标题问题，但无济于事。想象一根长度为 L 的杆。杆中的声速为 c。在一端施加宽度与 L/c 相当的高斯形状的压力脉冲。我想求解杆内的粒子位移函数 u(t,x)。 Mathematica 代码如下，

c = 1.0 (*speed of wave*)
L = 1.0 (*length of medium*)
Subscript[P, 0] = 0.0 (*pressure of reservoir at one end*)
Subscript[t, 0] = 5.0*c/L; (*mean time of pressure impulse*)
\[Delta]t = 2.0*c/L; (*Std of pressure impulse*)
K = 1.0; (* proportionality constant, stress-strain *)
Subscript[P, max ] = 1.0; (*max. magnitude of pressure impulse*)
Subscript[P, 1][t_] := 
 Subscript[P, max ]
   PDF[NormalDistribution[Subscript[t, 0], \[Delta]t], t];

PDE = D[func[t, x], t, t] == c^2 D[func[t, x], x, x]
BC1 = -K func[t, 0] == Subscript[P, 1][t]
BC2 = -K func[t, L] == Subscript[P, 0]
IC1 = func[0, 
   x] == (-Subscript[P, 1][0]/K) (x/L) + (-Subscript[P, 0]/K) (1 - x/L)
IC2 = Derivative[1, 0][func][0, x] == 0.0

sol = NDSolve[{PDE, BC1, BC2, IC1, IC2}, 
  func, {t, 0, 2 Subscript[t, 0]}, {x, 0, L}]

问题是程序运行了几分钟而没有给出任何输出。鉴于问题的简单性（即存在解析解），我认为应该有一种更快的方法来获得数值解。有人能给我一些建议吗？

【问题讨论】：

我强烈建议您不要使用Subscript，而是使用p0等。也不要以大写字母开头任何您自己的符号，以避免与内置符号冲突。
.. 进行这些更改后，我立即得到解决方案，并警告边界条件不一致。我认为你在公元前有一些明显的错误，但你可以通过查看你得到的解决方案来解决这个问题。
谢谢，乔治。听从您的建议并解决了问题。

标签： wolfram-mathematica numerical-methods wave pde numerical-computing

【解决方案1】：

按照乔治的建议，方程得到了求解。

问题中给出的BC1和BC2应该修改如下

BC1 = -kk Derivative[0, 1][func][t, 0] == p1[t]
BC2 = -kk Derivative[0, 1][func][t, ll] == p0

t0 和 Δt 也被修改了，

t0 = 2.0*c/ll (*mean time of pressure impulse*)
\[Delta]t = 0.5*c/ll (*Std of pressure impulse*)

问题可以在时间间隔0

这是 3D 压力图（相对于 x 和 t）

这是施加脉冲的条形一端的压力图。正如预期的那样，压力是高斯的。

这是条中间的压力图。请注意，虽然施加的压力是高斯的，并且另一端的压力保持在 P0=0，但压力会在一段时间 tc 内变为负值。

【讨论】：