我在二维平面上有一组点W={(x1, y1), (x2, y2),..., (xn, yn)}。你能找到一种算法，将这些点作为输入并返回二维平面上的点(x, y)，它与W 中的点的距离之和最小吗？换句话说，如果
di = Euclidean_distance((x, y), (xi, yi))
我想最小化：
d1 + d2 + ... + dn
【问题讨论】：
标签： algorithm mathematical-optimization computational-geometry convex-optimization
问题
您正在寻找geometric median。
简单的解决方案
这个问题没有封闭形式的解决方案，因此使用迭代或概率方法。找到这一点的最简单方法可能是使用 Weiszfeld 算法：
我们可以在 Python 中如下实现：
import numpy as np
from numpy.linalg import norm as npnorm
c_pt_old = np.random.rand(2)
c_pt_new = np.array([0,0])
while npnorm(c_pt_old-c_pt_new)>1e-6:
num = 0
denom = 0
for i in range(POINT_NUM):
dist = npnorm(c_pt_new-pts[i,:])
num += pts[i,:]/dist
denom += 1/dist
c_pt_old = c_pt_new
c_pt_new = num/denom
print(c_pt_new)
Weiszfeld 的算法有可能不会收敛，因此最好从不同的起点运行几次。
通用解决方案
您也可以使用second-order cone programming (SOCP) 找到它。除了解决您的特定问题外，此通用公式还允许您轻松添加约束和权重，例如每个数据点位置的可变不确定性。
为此，您需要创建一些指标变量来表示建议的中心点和数据点之间的距离。
然后，您可以最小化指标变量的总和。结果如下
import cvxpy as cp
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
#Generate random test data
POINT_NUM = 100
pts = np.random.rand(POINT_NUM,2)
c_pt = cp.Variable(2) #The center point we wish to locate
distances = cp.Variable(POINT_NUM) #Distance from the center point to each data point
#Generate constraints. These are used to hold distances.
constraints = []
for i in range(POINT_NUM):
constraints.append( cp.norm(c_pt-pts[i,:])<=distances[i] )
objective = cp.Minimize(cp.sum(distances))
problem = cp.Problem(objective,constraints)
optimal_value = problem.solve()
print("Optimal value = {0}".format(optimal_value))
print("Optimal location = {0}".format(c_pt.value))
plt.scatter(x=pts[:,0], y=pts[:,1], s=1)
plt.scatter(c_pt.value[0], c_pt.value[1], s=10)
plt.show()
SOCP 在number of solvers 中可用，包括 CPLEX、Elemental、ECOS、ECOS_BB、GUROBI、MOSEK、CVXOPT 和 SCS。
我已经测试过，这两种方法在公差范围内给出了相同的答案。
魏斯菲尔德，E.（1937 年）。 “Sur le point pour lequel la somme des distances de n points donnes est minimum”。东北数学杂志。 43：355–386。
【讨论】：
第三种方法是使用紧凑的非线性规划公式。一个无约束的 NLP 模型将是：
min sum(i, ||x-p(i)|| )
这只有 2 个变量（x 的坐标）。
有一个很好的初始点可用。让p(i,c) 成为数据点的坐标。那么平均值就是
m(c) = sum(i, p(i,c)) / n
其中n 是数据点的数量。这个点通常非常接近x 的最优值。所以我们可以使用m 作为x 的一个很好的初始点。
一些有限的实验表明，这种方法比大型n 的锥形编程公式要快得多。
详情见Yet Another Math Programming Consultant - Finding the Central Point in a Point Cloud blog post。
【讨论】：