为什么 fsolve 给出初始条件作为解？

Question

from scipy.optimize import fsolve

def f_sum(beta, gamma, x):
    f = (
        3 * x ** (3 * (1 - gamma)) / (np.exp(1 / beta) - x ** (1 - gamma))
        + x ** (4 * (1 - gamma)) / (np.exp(1 / beta) - x ** (1 - gamma)) ** 2
        - 3 * x ** (3) / (np.exp(1 / beta) - x ** (1))
        - x ** (4 * (1)) / (np.exp(1 / beta) - x ** (1)) ** 2
    )
    return f


def equilibrium(p, beta, gamma, x):
    if x > 1:
        return 1000
    elif x < -1:
        return -1000
    else:
        g = (
            x * (1 - x ** 2) * (1 - p) / 2
            + f_sum(beta, gamma, (x + 1) / 2)
            - f_sum(beta, gamma, (1 - x) / 2)
        )
    return g


print(fsolve(lambda x: equilibrium(1.0, 0.1, 0.3775, x), 0.6))

我正在使用 fsolve 来查找严格介于 -1 和 1 之间的函数的根。x 介于 -1 和 1 之间。而 gamma 介于 0 和 0.5 之间。 Beta 为正。

我知道该函数有3个根-1、0和1。我只是尝试看看是否还有更多用于特定参数组合的参数。

但是，对于具体参数，解与初始条件相同。我试图绘制函数并且没有这样的固定点，所以这显然是错误的。

我还收到以下错误：“RuntimeWarning：迭代没有取得良好进展，由 过去十次迭代的改进。 warnings.warn(msg, RuntimeWarning)"

有什么问题？我还尝试更改所选参数的初始条件（在打印函数中），但高于 initial=0.6 时，它一直给出初始值。

Answer 1

鉴于equilibrium 函数的复杂性及其有限域x∈[-1,1]，例如，最好使用least_squares

import numpy as np
from scipy.optimize import least_squares

def f_sum(x, beta, gamma):
    f = (
        3 * x ** (3 * (1 - gamma)) / (np.exp(1 / beta) - x ** (1 - gamma))
        + x ** (4 * (1 - gamma)) / (np.exp(1 / beta) - x ** (1 - gamma)) ** 2
        - 3 * x ** (3) / (np.exp(1 / beta) - x ** (1))
        - x ** (4 * (1)) / (np.exp(1 / beta) - x ** (1)) ** 2
    )
    return f


def equilibrium(x, p, beta, gamma):
    g = (
        x * (1 - x ** 2) * (1 - p) / 2
        + f_sum((x + 1) / 2, beta, gamma)
        - f_sum((1 - x) / 2, beta, gamma)
    )
    return g

现在我们可以在定义的域中找到根 (bounds)

roots = least_squares(
    equilibrium, 
    x0=(-1, -.5, 0, .5, 1), 
    args=(2.5, 4.4, 0.06), 
    bounds=(-1, 1)
)

给了

print(roots)

 active_mask: array([-1,  0,  0,  0,  1])
        cost: 4.1713539926658053e-22
         fun: array([-1.99740779e-11, -4.23644453e-12,  0.00000000e+00,  4.28902747e-12,
        1.99740779e-11])
        grad: array([ 1.27723833e-10, -1.00057191e-12,  0.00000000e+00,  1.01299110e-12,
       -1.27723833e-10])
         jac: array([[-6.39447955, -0.        ,  0.        ,  0.        , -0.        ],
       [ 0.        ,  0.23618199,  0.        ,  0.        , -0.        ],
       [ 0.        , -0.        , -0.12019887,  0.        , -0.        ],
       [ 0.        , -0.        ,  0.        ,  0.236182  , -0.        ],
       [ 0.        , -0.        ,  0.        ,  0.        , -6.39447955]])
     message: '`gtol` termination condition is satisfied.'
        nfev: 6
        njev: 6
  optimality: 1.358478265237574e-12
      status: 1
     success: True
           x: array([-1.        , -0.34105647,  0.        ,  0.34105647,  1.        ])

根在哪里

print(roots.x)

[-1.         -0.34105647  0.          0.34105647  1.        ]

我们可以验证

import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-1, 1, 1000)
y = equilibrium(x, 2.5, 4.4, 0.06)

plt.plot(x, y)
plt.axhline(0, color='r', lw=1)
plt.vlines(roots.x, *plt.ylim(), color='k', ls='--')

固定根

即使您的函数equilibrium 非常复杂，也相对容易证明（无需任何计算和/或估计）在域 x∈[-1,1] 中存在三个根 x={-1, 0,1} 独立于 beta 和 gamma。

其实我们可以写出对相似词进行分组的函数

这里，对于 p≠1，f(x)=0 的必要条件是 A=0，它简单地导致

所以我们现在可以很容易地证明这些条件是唯一的根 f(x)=0 并且独立于 beta 和 gamma

所以，三个固定根是 x={-1,0,1}，其中 f(x)=0 ∀β,γ