如何使用抛物线找到二次曲线的控制点？

Question

我不知道如何绘制抛物线，其方程为y^2 = 4ax

所以我有两个端点，即 P0、P2，但是我不知道如何找到控制点以放入 quadraticCurveTo() 函数。

Answer 1

要将二次贝塞尔曲线与此抛物线公式相匹配并假设原点为 0，您可以使用将控制点从端点之一放置在 -y0 或 -y1。

示例

首先，让我们重新排列公式：

y² = 4ax

到：

x = y² / 4a

所以我们可以从下往下绘制。

在这种情况下，我们可以简单地将所有内容归结并使用 y 和 mid x 的倒数作为控制点。

不过，一般原则是找到端点的切线。然后应该放置这些线与控制点相交的位置。如果您想了解如何找到交叉点的数学 步骤，我建议您查看 Erik Man 的回答 here（恰好今天发布，但更详细地分解了数学）。

所以，如果我们在画布的窗口内绘制它（黑色是抛物线，红色是二次曲线）：

var ctx = document.querySelector("canvas").getContext("2d"),
    w = ctx.canvas.width, h = ctx.canvas.height;
ctx.strokeStyle = "red";
ctx.lineWidth = 2;
ctx.translate(0, 6);

// formula
function f(y, a) {return y * y / (a * 4)};

var a = 80;

plotWindow();

function plotWindow() {
  
  ctx.clearRect(0, -6, w, h);
  ctx.fillStyle = "#000";
  
  // plot parabola using formula
  for(var i = 0; i < w; i++) {
    var y = f(i - w * 0.5, a);
    ctx.fillRect(i - 2, y - 2, 4, 4);
  }

  // plot parabola using quadratic curve:
  var x0 = 0;
  var y0 = f(-w * 0.5, a);
  var x1 = w;
  var y1 = f( w * 0.5, a);
  var cx = x1 * 0.5;  // control point is center for x
  var cy = -y0;       // control point is -y0 for y assuming top of parabola = 0

  ctx.beginPath();
  ctx.moveTo(x0, y0);
  ctx.quadraticCurveTo(cx, cy, x1, y1);
  ctx.stroke();
  
  // plot a
  ctx.fillStyle = "blue";
  ctx.fillRect(cx - 3, a - 3, 6, 6);
  ctx.fillText("a=" + a, cx + 6, a + 5)
}

// slider
document.querySelector("input").onchange = function() {
  a = +this.value;
  plotWindow();
};

canvas {border:1px solid #777}

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<label>a: <input type="range" min=10 max=172 value=80></label><br>
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