安排数量

Question

假设我们有 n 个元素，a₁，a₂， ...，a_n，排成一圈。即a₂在a₁和a_3之间，a₃在a₂和a₄，a_n在a_n之间>-1 和 a₁ 等等。

每个元素可以取值 1 或 0。如果有对应的 a_i 的值，则两种排列是不同的不同。例如，当 n=3 时，(1, 0, 0) 和 (0, 1, 0) 是不同的排列，即使它们在旋转或反射下可能是同构的。

因为有n个元素，每个元素可以取两个值，所以排列的总数是2ⁿ。

问题来了：

可能有多少种排列方式，使得没有两个相邻元素的值都为 1？如果有帮助，请仅考虑 n>3 的情况。

我在这里问有几个原因：

1. 这是在我解决编程问题时出现的
2. 听起来问题可能受益于布尔逻辑/位算术
3. 也许没有封闭的解决方案。

Answer 1

我们先问一个问题“有多少个长度为 n 的 0-1 序列没有两个连续的 1？”假设答案是 A(n)。我们有 A(0)=1（空序列），A(1) = 2（“0”和“1”），以及 A(2)=3（“00”，“01”和“10”，但是不是“11”）。

为了更容易编写递归，我们将 A(n) 计算为两个数字的总和：
B(n)，以 0 结尾的此类序列的数量，以及
C(n)，以 1 结尾的此类序列的数量。

然后 B(n) = A(n-1) （取任意长度为 n-1 的序列，并附加一个 0）
和 C(n) = B(n-1) （因为如果在 n 位置有 1，那么在 n-1 处必须有 0。）
这给出了 A(n) = B(n) + C(n) = A(n-1) + B(n-1) = A(n-1) + A(n-2)。 现在应该很熟悉了:-)

A(n) 就是斐波那契数 F_n+2，其中斐波那契数列定义为
F₀=0, F₁ =1，且 F_n+2= F_n+1+F_n，对于 n ≥ 0。

现在回答你的问题。我们将分别计算 a₁=0 和 a₁=1 的排列数量。对于前者，a₂ … a_n 可以是任意序列（没有连续的 1），所以数为 A(n-1)=F_n+1。对于后者，我们必须有 a₂=0，然后 a₃…a_n 是任何没有连续 1 的序列 以0结尾，即B(n-2)=A(n-3)=F_n-1。

所以答案是 F_n+1 + F_n-1。

_{实际上，我们可以比那个答案更进一步。请注意，如果您将答案称为
G(n)=Fn+1+Fn-1，则
G(n+1)=Fn+2+Fn，
G(n+2)=Fn+3+Fn+1，所以即使是 G(n) 也满足与斐波那契数列相同的递归！ [实际上，类似斐波那契序列的任何线性组合都将满足相同的递归，所以这并不令人惊讶。] 所以另一种计算答案的方法是使用：
G(2)=3
G(3)=4
对于n≥4，G(n)=G(n-1)+G(n-2)。}

现在您还可以使用closed form F_n=(αⁿ-βⁿ)/(α-β) （其中 α 和 β 为 (1±√5)/2，x²-x-1=0）的根，得到
G(n) = (( 1+√5)/2)ⁿ + ((1-√5)/2)ⁿ.
[您可以忽略第二项，因为它对于大 n 非常接近 0，实际上 G(n) 是 最接近 ((1+√5)/2)的整数ⁿ 对于所有 n≥2。]

Answer 2

我决定编写一个小脚本来尝试一下：

#!/usr/bin/python
import sys

# thx google 
bstr_pos = lambda n: n>0 and bstr_pos(n>>1)+str(n&1) or ""

def arrangements(n):
    count = 0
    for v in range(0, pow(2,n)-1):
        bin = bstr_pos(v).rjust(n, '0')
        if not ( bin.find("11")!=-1 or ( bin[0]=='1' and bin[-1]=='1' ) ):
            count += 1
            print bin
    print "Total = " + str(count)

arrangements(int(sys.argv[1]))

运行 5 次，总共给了我 11 种可能性，00000， 00001, 00010, 00100, 00101, 01000, 01001, 01010, 10000, 10010, 10100.

附： - 请原谅上面代码中的 not()。

Answer 3

将我幼稚的脚本加入其中。缓存部分结果的机会很多，但对于小的 n 运行速度足够快，我没有打扰。

def arcCombinations(n, lastDigitMustBeZero):
    """Takes the length of the remaining arc of the circle, and computes
       the number of legal combinations.
       The last digit may be restricted to 0 (because the first digit is a 1)"""

    if n == 1: 
        if lastDigitMustBeZero:
            return 1 # only legal answer is 0
        else:
            return 2 # could be 1 or 0.
    elif n == 2:
        if lastDigitMustBeZero:
            return 2 # could be 00 or 10
        else:
            return 3 # could be 10, 01 or 00
    else:
        # Could be a 1, in which case next item is a zero.
        return (
            arcCombinations(n-2, lastDigitMustBeZero) # If it starts 10
            + arcCombinations(n-1, lastDigitMustBeZero) # If it starts 0
            )

def circleCombinations(n):
    """Computes the number of legal combinations for a given circle size."""

    # Handle case where it starts with 0 or with 1.
    total = (
            arcCombinations(n-1,True) # Number of combinations where first digit is a 1.
            +
            arcCombinations(n-1,False) # Number of combinations where first digit is a 0.
        )
    return total


print circleCombinations(13)

Answer 4

这个问题和Zeckendorf representations很相似。由于循环约束，我找不到应用 Zeckendorf 定理的明显方法，但斐波那契数显然在这个问题中非常普遍。