结合两个正态随机变量

Question

假设我有以下 2 个随机变量：

X 其中均值 = 6 且标准差 = 3.5
Y 其中平均值 = -42 和标准差 = 5

我想基于前两个创建一个新的随机变量 Z，并且知道：X 发生 90% 的时间，Y 发生 10% 的时间。

很容易计算 Z 的平均值：0.9 * 6 + 0.1 * -42 = 1.2

但是是否可以在单个函数中为 Z 生成随机值？ 当然，我可以按照这些思路做一些事情：

if (randIntBetween(1,10) > 1)
    GenerateRandomNormalValue(6, 3.5);
else
    GenerateRandomNormalValue(-42, 5);

但我真的很想有一个函数，它可以作为这样一个非正态的随机变量 (Z) 的概率密度函数。

对不起，糟糕的伪代码

感谢您的帮助！

编辑：这是一个具体的审讯：

假设我们从 Z 中添加 5 个连续值的结果。以大于 10 的数字结尾的概率是多少？

Answer 1

但我真的很想拥有一个 将作为一个单一的功能 这种概率密度函数 一个随机变量 (Z) 不是 必要的正常。

好的，如果你想要密度，这里是：

rho = 0.9 * density_of_x + 0.1 * density_of_y

但如果不这样做，则无法从该密度中采样 1) 计算其 CDF（繁琐，但并非不可行） 2) 反转它（为此您需要一个数值求解器）。或者你可以做rejection sampling（或变体，例如重要性抽样）。这是昂贵的，而且很难做到正确。

所以你应该使用“if”语句（即调用生成器 3 次），除非你有非常充分的理由不这样做（例如使用准随机序列）。

Answer 2

如果随机变量表示为 x=(mean,stdev)，则适用以下代数

number * x = ( number*mean, number*stdev )

x1 + x2 = ( mean1+mean2, sqrt(stdev1^2+stdev2^2) )

所以对于 X = (mx,sx), Y= (my,sy) 的情况，线性组合是

Z = w1*X + w2*Y = (w1*mx,w1*sx) + (w2*my,w2*sy) = 
    ( w1*mx+w2*my, sqrt( (w1*sx)^2+(w2*sy)^2 ) ) =
    ( 1.2, 3.19 )

链接：Normal Distribution 查找其他部分，第 1 项。

PS。对不起，奇怪的符号。新的标准偏差是通过类似于勾股定理的东西来计算的。它是平方和的平方根。

Answer 3

这是分布的形式：

ListPlot[BinCounts[Table[If[RandomReal[] < .9,
    RandomReal[NormalDistribution[6, 3.5]], 
    RandomReal[NormalDistribution[-42, 5]]], {1000000}], {-60, 20, .1}], 
    PlotRange -> Full, DataRange -> {-60, 20}]

这不是正常的，因为您没有添加正常变量，而只是以一定的概率选择一个或另一个。

编辑

这是添加五个具有此分布的变量的曲线：

上峰和下峰代表单独采用其中一种分布，中峰代表混合。

Answer 4

最直接和通用的解决方案是模拟问题：

运行分段函数 1,000,000 次（只是一个高次数），生成结果的直方图（通过将它们分成箱，然后将每个箱的计数除以 N（在我的示例中为 1,000,000）。这将在每个给定的 bin 处为您提供 Z 的 PDF 的 近似值。

Answer 5

这里有很多未知数，但实际上您只是希望将两个（或更多）概率函数相加。

对于任何给定的概率函数，您可以通过计算概率曲线下的面积（积分）然后生成一个介于 0 和该面积之间的随机数来计算具有该密度的随机数。然后沿着曲线移动，直到面积等于您的随机数，并将其用作您的值。

这个过程可以推广到任何函数（或两个或多个函数的总和）。

阐述： 如果你有一个从 0 到 1 的分布函数 f(x)。你可以通过计算 f(x) 从 0 到 1 的积分来计算基于分布的随机数，给你曲线下的面积，让叫它A。

现在，您生成一个介于 0 和 A 之间的随机数，我们将这个数字称为 r。现在你需要找到一个值 t，使得 f(x) 从 0 到 t 的积分等于 r。 t 是你的随机数。

此过程可用于任何概率密度函数 f(x)。包括两个（或更多）概率密度函数之和。

我不确定你的函数是什么样的，所以不确定你是否能够计算出所有这些的解析解，但更糟糕的情况是，你可以使用数值技术来近似效果。