从正态分布中选择的随机变量的出现概率答案

【问题标题】：Probability of occurrence of random variable chosen from Normal Distribution从正态分布中选择的随机变量的出现概率
【发布时间】：2014-02-27 16:34:41
【问题描述】：

我只是想知道，使用下面的代码，我将如何确定与所选随机变量之一相关的发生概率。例如，如果为 new_E11 选择了一个特定变量，我如何从正态分布中知道它的出现概率？

function [new_E11, new_E22] = elasticmodulusrng()

new_E11 = normrnd(136e9,9.067e9,[1 1]);

new_E22 = normrnd(8.9e9,2.373e9,[1 1]);

while new_E11<=136e9-3*9.067e9 && new_E11>=136e9+3*9.067e9
        new_E11 = normrnd(136e9,9.067e9,[1 1]);
end

while new_E11<=8.9e9-3*2.373e9 && new_E11>=8.9e9+3*2.373e9
        new_E22 = normrnd(8.9e9,2.373e9,[1 1]);
end

谢谢

【问题讨论】：

它的出现概率总是0，因为它是一个连续的随机变量。也许你的意思是它的概率密度？
我怀疑您的代码中有错字。第二个while 应该测试new_E22 而不是new_E11。
@LuisMendo 是的，这是我所追求的概率密度，抱歉造成混淆。

标签： matlab probability normal-distribution

【解决方案1】：

任何特定值的概率为零（嗯，实际上大约是 2^64 中的 1 部分...这是有多少不同的浮点数，因为它们由 64 位二进制表示; 而且它们的可能性不相等，因此答案比这更复杂）。

一个更好的问题是“概率是多少密度”——可以描述为的极限

P(x - dx < X < x + dx)
----------------------
        2 * dx

这实际上是您的“概率密度函数”或 PDF 的定义。在您的情况下，您使用的是具有平均 mu 和标准偏差 sigma 的正态分布，然后

pdf(X) = exp(-(X-mu)*(X-mu) / (2 * sigma * sigma)) / (sqrt(2.0*pi) * sigma)

如果您真的想要原始问题的答案，您可以查看您感兴趣的值的 X 值的最小增量（尾数中的一个最低有效位）。那将是您的 delta X，然后您可以计算实际答案（警告 - 它不仅很小，而且可能很难在不遇到重大舍入错误的情况下计算它。会很难。）

进一步思考：

您测试该值的限制是否在 +- 3 sigma 范围内，并继续进行直到达到。这意味着您人为地略微增加了概率 - 因为您的值始终来自范围的特定部分（总概率小于 1），您需要将 PDF 乘以 (1/p)，其中 p 是从-3 到3 或0.9973 的标准正态分布的积分。因此，在您的情况下，上述公式会低估0.27% 的概率。

suggestion 为您的代码提供一些样式建议。考虑以下内容（为您的代码提供等效结果）：

function [new_E11, new_E22] = elasticmodulusrng()
  % returns randomly distributed modulus 
  % keeping the value within +- 3 standard deviations
  % identify the constants up front
  mean11 = 136e9;
  stdv11 = 9.067e9;
  mean22 = 8.9e9;
  stdv11 = 2.373e9;

  % compute the values
  new_E11 = normRandLimit(mean11, stdv11, [-3 3]);
  new_E22 = normRandLimit(mean22, stdv22, [-3 3]);

function rr = normRandLimit(m, s, b)
% helper function in the same file
% returns a normally distributed random variate
% with mean m, standard deviation s
% within limits [mean + b(1)*s,  mean + b(2)*s]

  while true 
    rr = randn(1); % doesn't need statistics toolbox - scale later
    if( rr > b(1) && rr < b(2) )
      break;  % found acceptable value
    end
  end
  % now apply scaling:
  rr = rr * s + m;

注意事项：

“幻数”有一个好听的名字，而且都在代码的最前面
“限制范围内的随机数”的计算被归为一个单独的函数
使用randn 而不是normrnd（因此无需绑定统计工具箱许可证）
计算“好数字”后的计算缩放
已消除重复代码
从结构（和 cmets）可以看出发生了什么

所有这些加起来就是“更好”的代码——从某种意义上说，它更容易调试和维护。而且当你在六个月后看到自己的代码时，你仍然可以阅读它......

【讨论】：

@LuisMendo - 谢谢。我当然应该正常化。固定。
@Floris 非常感谢！您的代码也非常有用。我只是想知道，如果我通过选择固定间隔人为地增加概率，那么考虑到 1/p 大于 1，我肯定应该将 PDF 乘以小于 1 的数字吗？对不起，我只是对这个有点困惑。
@Jojo - 这样想：如果你掷硬币，你有 50% 的机会得到正面。如果您决定“我将拒绝反面”（相当于“我拒绝大于 3 sigma 的值”，但更极端），那么您的过程产生正面的概率会上升到 100%。您必须将 0.5 乘以 (1/0.5) 才能得到该答案。有意义吗？
@Floris 谢谢！我明白你的意思了。
@jojo - 您的原始问题的答案现在清楚了吗，还是您需要进一步澄清？如果您的问题现在已得到解答，您可能希望将其标记为这样 - 这样其他人就不会花时间试图提出其他答案。为此目的，答案旁边有一个小复选标记...