通过集成 PDF 获得的错误累积分布

Question

我有一个 PDF（代码如下），我正在尝试获取它的 cummulative distribution function (CDF)。我可以使用标准方法将 PDF 从 0.（它是允许的最小值）集成到增加 x 值。这按预期工作：

PDF 为红色，“逐步”CDF 为蓝色。但这给我留下了一张(x, y) 数据表，我想要描述这个CDF 的实际函数。所以我转而将 PDF 从 0. 到变量 y 进行积分以获得这个表达式。我这样做with WolframAlpha (WA) 我发现：

我使用upper incomplete gamma function 将此函数写入我的代码中，我得到了这个：

WA 集成 CDF 为橙色。我尝试了较低的不完全伽马函数，但结果更糟。

我很确定 WA CDF 的编写没有错误，所以我不确定我在这里做错了什么。

import numpy as np
from scipy.special import gamma, gammaincc
from scipy import integrate
import matplotlib.pyplot as plt

def main():
    xx = np.linspace(0., 5., 100)
    yy = PDF(xx)
    plt.plot(xx, yy, c='r')

    # Find stepwise CDF
    cummul = []
    for x in xx:
        cummul.append([x, integrate.quad(PDF, 0., x)[0]])
    plt.plot(*np.array(cummul).T)

    # WolframAlpha's integral
    y = CDF(xx)
    plt.plot(xx, y)


def PDF(y):
    a = (343. / 15.) * np.sqrt(7. / (2. * np.pi))
    b, c = 5. / 2., -7. / 2.
    return a * (y ** b) * np.exp(c * y)


def CDF(x):
    """
    From WolframAlpha
    """
    a = (343. / 15.) * np.sqrt(7. / (2. * np.pi))
    b, c = 5. / 2., -7. / 2.
    return a * (
        x**b * (-c * x)**(-b) * (gammaincc(b + 1, -c * x) - b * gamma(b))) / c

if __name__ == '__main__':
    main()

Answer 1

scipy.special.gammaincc 是正则化上不完全伽马函数。如果不完全 gamma 函数是 gamma(a, x)，则正则化的不完全 gamma 函数是 gamma(a, x)/gamma(a)。 WA 公式中的不完全 gamma 函数不是正则化版本。如果将gammaincc(b + 1, -c * x) 乘以gamma(b + 1)，您将得到预期的结果。即把return语句改成

    return a * (
        x**b * (-c * x)**(-b) * (gamma(b + 1) * gammaincc(b + 1, -c * x) - b * gamma(b))) / c

也可以写

    return a * (
        x**b * (-c * x)**(-b) * gamma(b + 1) * (gammaincc(b + 1, -c * x) - 1)) / c

如果我使用后一个版本，并将 Wolfram Alpha 积分的图更改为

    plt.plot(xx, y, '--', linewidth=4, alpha=0.6)

我明白了这个情节：