使用 MATLAB 创建拉丁方阵

Question

我对 MATLAB 相当生疏，我正在尝试通过自动化一些拉丁方问题来复习。我正在处理的代码如下：

counter=1;
for i=1:10
    for j=1:10
        if A(i,j)=0
            A(i,j)=[This is where I'm stuck];
        end
        counter=counter+1;
    end
end    

我希望这段代码检查A(i,j) 中的值以确定[1,...,n] 中的值是否已经存在于第i 行中，然后从中选择随机值

[1,...,n] excluding [values already present].

基本上我只是想强制完成部分拉丁方块。

编辑：

我不是要生成随机的拉丁方格，而是要生成具有特定属性的方格。例如，假设我们有以下设置：

A=[X,0,0,0,Y,0,0,0,Z]

其中 0,X,Y,Z 都是 3x3 子矩阵，X,Y,Z 的值从 1,...,9 开始。我正在尝试设计一种自动化方法来完成部分拉丁方格，其中有一些值。

Answer 1

您描述的方法不够健壮，无法每次都生成一个拉丁方格。例如，假设我们正在计算 5x5 正方形的第二行

1 2 3 4 5
2 4 1 3 ?

前 4 列遵守规则，在每列中选择不会导致行/列冲突的随机值。那么最后一个值必须是 5，这是不允许的。您可以添加另一个阶段，该阶段将在冲突中循环并进行交换，但如果不仔细构建，这可能是无穷无尽的！

更简单的方法是构造一个大小为n 的“简单”拉丁方格，格式如下：

A = [1    2    3    ...    n-1  n
     n    1    2    ...    n-2  n-1
     n-1  n    1    ...    n-3  n-2
     ...  ...  ...  ...    ...  ...
     3    4    5    ...    1    2  
     2    3    4    ...    n    1   ]

每一行都是向量1:n，每行按一个元素排列。这可以在 Matlab 中使用toeplitz 轻松生成：

A = toeplitz([1,n:-1:2],1:n);

现在我们有了一个拉丁方格！您可以通过使行排列随机而不是有序来随机化此过程。之后我们可以这样做，也可以使用来自randperm的随机索引对列进行置换

A = A(randperm(n), randperm(n));

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注意，这不会产生所有可能的拉丁方格，因为：

"如果可以通过排列行、列和符号从另一个中获得一个，则两个正方形属于同一同位素类别" Brendan McKay

查看类之间的跳跃将是另一个层次。 n=8 有超过 100 万个类，并且类的数量随着值的增加而迅速爆炸！ Wikipedia

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由于 n=10 有 9,982,437,658,213,039,871,725,064,756,920,320,000 个拉丁方格（如您的尝试），我认为可以肯定地说，无论是您的蛮力方法还是这种排列方法都不会很快耗尽它们！

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披露：此答案基于 gnovice 的评论，值得扩展上下文和链接。