用于两个均匀分布差异的 CDF 的 R 函数答案

【问题标题】：R function for CDF for Difference of Two Uniform Distributions用于两个均匀分布差异的 CDF 的 R 函数
【发布时间】：2021-03-02 20:00:40
【问题描述】：

我很难找到符合我要求的 R 函数。假设我有两个均匀分布，A~U[alow,ahigh] 和 B~U(blow,bhigh)。

有一个随机变量 Z=A-B，这两个均匀分布之间的差异。我需要一个函数CDF函数来分配Z。

我会给这个函数一个截止值 x，它会返回 Z 低于截止值的概率。

我在 R 中，理想情况下，函数调用看起来像这样：

UniformDiffCDC(alow,ahigh,blow,bhigh,cutoff)

不幸的是，我不知道从哪里开始，或者这是否已经在 R 的某个地方实现了。救命！

【问题讨论】：

标签： r statistics cran uniform-distribution

【解决方案1】：

基本思想是概率密度函数将form a trepezoid。我不知道有任何内置函数，因为它不是一个非常常见的分布，但使用一些几何你可以准确地求解这些值。

UniformDiffCDF <- Vectorize(function(alow,ahigh,blow,bhigh,cutoff) {
  breaks <- c(alow-bhigh, ahigh-bhigh, alow-blow, ahigh-blow)
  height <- 2/sum(breaks * c(-1, -1, 1, 1))
  if (cutoff > breaks[4]) return(1) 
  prob <- 0
  if (cutoff < breaks[1]) return(prob) 
  if (cutoff < breaks[2]) {
    prob <- prob + 1/2 * (cutoff - breaks[1]) * approx(breaks[1:2], c(0, height), cutoff)$y
    return(prob)
  } else {
    prob <- prob + 1/2 * (breaks[2]-breaks[1]) * height
  }
  if (cutoff < breaks[3]) {
    prob <- prob + (cutoff-breaks[2])*height
    return(prob)
  } else {
    prob <- prob + (breaks[3]-breaks[2])*height
  }
  tri <- 1/2 * (breaks[4]-breaks[3]) * height
  prob <- prob + tri - 1/2 * (breaks[4]- cutoff) * approx(breaks[4:3], c(0,height), cutoff)$y
  return(prob)  
}, vectorize.args="cutoff")

例如

curve(UniformDiffCDF(5,7,2,6, x), from=-2, to=6)

相应的 PDF 将是

UniformDiffPDF <- Vectorize(function(alow,ahigh,blow,bhigh,cutoff) {
  breaks <- c(alow-bhigh, ahigh-bhigh, alow-blow, ahigh-blow)
  height <- 2/sum(breaks * c(-1, -1, 1, 1))
  if (cutoff > breaks[4]) return(0)
  if (cutoff < breaks[1]) return(0) 
  if (cutoff < breaks[2]) {
    return(approx(breaks[1:2], c(0, height), cutoff)$y)
  }
  if (cutoff < breaks[3]) {
    return(height)
  }
  return(approx(breaks[4:3], c(0,height), cutoff)$y)
}, vectorize.args="cutoff")

【讨论】：

这很棒。但是，我很惊讶地看到它有任何曲率，因为 PDF 是全线！我不应该因为某种原因感到惊讶吗？
好吧，考虑直线 y=2x 就像它是 PDF 一样，当集成该函数以获得曲线下的面积时，您会得到 x^2+c 所以当您在直线下积分时会得到曲线线。希望这不会太令人惊讶。这只是基本的微积分。
哈哈。是的，你是对的，我应该考虑到这一点。

【解决方案2】：

这样的？

   UniformDiffCDF <- function(alow,ahigh,blow,bhigh,cutoff,n=10000){
        a = runif(n,min=alow,max=ahigh)
        b = runif(n,min=blow,max=bhigh)
        z = (a-b)
        p = sum(z < cutoff)/n
        return(p)
}

【讨论】：

鉴于这个问题有一个相对简单的精确解，似乎不需要近似值。然而，这可能是帮助验证准确解决方案的好方法。