估计平方根答案

【问题标题】：Estimating the square root估计平方根
【发布时间】：2010-09-16 00:51:45
【问题描述】：

我正在编写一个 iPhone 应用程序，它需要每 1/30 秒计算大约 2000 次数字的平方根。 sqrt() 在计算机上运行良好，但在 iPhone 或 iPad 上帧速率下降到 10 FPS 左右，我已经优化了其余代码。我听说通过估计平方根可以大大加快速度，但我找不到任何代码来做到这一点。我只需要一到两位小数的精度。任何有关如何执行此操作或其他加快速度的方法的建议将不胜感激。

谢谢！

【问题讨论】：

维基百科有一个快速查找的算法描述得很好；你在找什么？
您确定需要计算平方根吗？通常在游戏等的毕达哥拉斯类型计算中，sqrt 可以被魔法消除。你是做什么用的？
或者，如果你不能把它变魔术，你可以使用查找表吗？
了解它的用途以及您将使用的值的范围非常有帮助。例如，如果它真的是 1/sqrt(x) 你想要有专门的方法。如果是 sqrt(1-x*x)，我发现 maclaurin 系列对于 |x| 来说非常快速和简单小于 0.8。最好的方法取决于你的使用。
感谢所有出色的答案！下面的答案是我为什么喜欢 StackOverflow 的一个很好的例子——每个人都非常乐于助人，并且知识渊博，他们可以用易于理解的方式进行解释。谢谢大家！

标签： objective-c iphone sqrt square-root

【解决方案1】：

除非您确实需要平方根，否则请比较平方值而不是原始值和平方根。

如果您只需要比较，平方比取平方根要快得多（也更准确）。这是大多数游戏的做法。

【讨论】：

你会如何最快地比较它们？您会使用预先计算的平方值数组，然后使用二进制搜索来找到最接近的吗？
他的意思是：比如你只是比较两个向量的长度。您不需要使用欧几里得范数（需要 sqrt）来执行此操作，您可以使用平方范数。对于许多其他情况，如果您对绝对值不感兴趣，您可以在平方空间中工作。

【解决方案2】：

您知道要求平方根的值的范围吗？假设您的值范围从 0 到 10。然后您可以预先计算一个数组：

sqrt_val[0] = 0;
sqrt_val[1] = 1;
sqrt_val[2] = // the sqrt of 2
...
sqrt_val[10] = // the sqrt of 10

然后在运行时，您获取您想要的 sqrt 的数字，将其转换为整数（例如 3.123 变为 3）并将其用作索引 (3) 以查找预先计算的值。

当然，如果您想要更精细的分辨率，您可以增加数组中的项目数。

【讨论】：

浮点到整数的转换也不是特别便宜。
如果这是个问题，请尝试使用整数作为坐标并将所有计算作为整数。

【解决方案3】：

首先，您确定平方根实际上是瓶颈吗？你有简介吗？每 1/30 秒 2000 平方根实际上并不是那么多，即使在手机上也是如此。 ARM 文档引用单精度平方根 33 个周期和双精度 60 个周期；一个 600mHz 处理器每秒可以处理 1000 万 个平方根（如果指令是流水线的，则更多）。

如果您进行了分析，并且平方根确实是瓶颈，您将需要使用 NEON vrsqrte.f32 指令。该指令非常快，并且可以同时为您提供四个浮点数的近似倒数平方根。然后，您可以使用vmul.f32 指令来获得近似的平方根（尽管对于许多用途来说，倒数比平方根本身更有用）。

【讨论】：

【解决方案4】：

您希望自己的估计有多准确？如果您知道您希望自己的估算值与实际 sqrt 有多接近，Newton's Method 就是您的朋友。

你知道传递给 sqrt 的值的范围吗？如果是这样，您可以制作一个在启动时预先计算的查找表（甚至在启动时从磁盘读取，具体取决于结果更快）。在表中找到与您的输入最接近的值，然后您就可以得到估算值。

【讨论】：

或者特别是牛顿法 + 预计算，很有可能。

【解决方案5】：

也许这是给你的：
Fast inverse square root
如果此方法不能提供您需要的准确度，还有许多其他迭代方法，您可以在速度和准确度之间选择或多或少的精确度：
Methods of computing square roots

【讨论】：

另外值得注意的是 sqrt(x) = x*(1/sqrt(x)) 和 1/x = (1/sqrt(x))**2 所以有一个快速倒数平方根实际上比它最初看起来更有用。事实上，如果我必须将有限的硬件专用于数学，我会选择它而不是除法:-)

【解决方案6】：

您可以在 iPhone 上进行的最简单的更改是使用 sqrtf() 而不是 sqrt()。单精度浮点数学比双精度快得多，尤其是在 3GS 老式和更新的设备上。

【讨论】：

【解决方案7】：

如果您需要平方根来计算毕达哥拉斯三角形 (sqrt(x*x + y*y))，并且 x 和 y 都是非负数，那么一个非常快速的近似是

max(x,y) + min(x,y)*0.333

最大误差为 5.7%。不过要注意 min() 和 max() 中的分支预测错误。

【讨论】：

【解决方案8】：

快速的 Google 搜索会出现各种链接。

http://en.wikipedia.org/wiki/Methods_of_computing_square_roots#Approximations_that_depend_on_IEEE_representation

http://www.azillionmonkeys.com/qed/sqroot.html

【讨论】：

【解决方案9】：

如果您有一个“正常”的正浮点数或双精度，而不是整数，并且想要使用查表方法，您可以进行两次单独的查表，一次用于指数（重新偏置），并且一位为尾数的几位（移位和掩码位域提取），然后将两个查表结果相乘。

【讨论】：