【发布时间】：2013-06-06 18:37:44
【问题描述】：
在 Python 中，要么是
n**0.5 # or
math.sqrt(n)
当一个数字是一个完美的正方形时被识别？具体来说，我应该担心当我使用
int(n**0.5) # instead of
int(n**0.5 + 0.000000001)
由于精度误差，我可能会意外地得到比实际平方根小一的数字？
【问题讨论】：
标签： python math square-root
【发布时间】：2013-06-06 18:37:44
【问题描述】：
由于几个答案都建议使用整数运算，我会推荐 gmpy2 库。它提供了检查数字是否为完美幂、计算整数平方根和整数平方根余数的功能。
>>> import gmpy2
>>> gmpy2.is_power(9)
True
>>> gmpy2.is_power(10)
False
>>> gmpy2.isqrt(10)
mpz(3)
>>> gmpy2.isqrt_rem(10)
(mpz(3), mpz(1))
免责声明：我维护 gmpy2。
【讨论】：
是的，你应该担心：
In [11]: int((100000000000000000000000000000000000**2) ** 0.5)
Out[11]: 99999999999999996863366107917975552L
In [12]: int(math.sqrt(100000000000000000000000000000000000**2))
Out[12]: 99999999999999996863366107917975552L
显然在这里添加 0.000000001 也无济于事......
正如@DSM 指出的，您可以使用decimal 库：
In [21]: from decimal import Decimal
In [22]: x = Decimal('100000000000000000000000000000000000')
In [23]: (x ** 2).sqrt() == x
Out[23]: True
对于超过 10**999999999 的数字，只要您检查精度（可配置），它会抛出错误而不是错误答案...
【讨论】：
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将结果四舍五入到
float的精度是导致问题的原因，而不是sqrt本身的任何缺陷。避免它的唯一方法是使用整数平方根函数。>>> '%0.0f' % float(100000000000000000000000000000000000) '99999999999999996863366107917975552' -
请注意，在使用
Decimal时，您仍然必须确保精度足够——它使获得正确答案成为可能，而不是自动获得。 -
你得到了荒谬的数字，因为你平方然后平方根的东西实际上不是 1036，而是最接近它的
double。跨度> -
@tmyklebu 是的......因此值得担心。
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@AndyHayden：我的意思是这是一个表示问题，而不是算术问题。
**0.5 和 math.sqrt() 都使用浮点运算执行计算。在计算平方根之前将输入转换为浮点数。
这些计算是否识别输入值何时是一个完美的正方形？
不，他们没有。浮点算术没有完全平方的概念。
大整数可能无法表示，因为数字的有效数字多于浮点尾数中可用的数字。因此很容易看出，对于不可表示的输入值，n**0.5 可能不准确。而且您通过添加一个小值提出的修复建议通常不会解决问题。
如果您的输入是整数，那么您应该考虑使用整数算术进行计算。这最终是处理这个问题的正确方法。
【讨论】：
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你有没有不涉及次正规、下溢或上溢的反例？
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@tmyklebu 反例。我正在解决是否编码检测完美的正方形。不是因为它使用了没有完全平方概念的浮点运算。
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问题的第一句询问识别。第二个询问是否得到错误的答案。所以关于反例的问题是询问您是否可以显示一个完美平方的值，
sqrt不返回确切的平方根。 -
@eric 这很容易展示。您所需要的只是一个不可表示的数字。
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@tmyklebu 忘记次常态。并且溢出/下溢永远不会出现。我的意思是，对于哪个整数 n，n**0.5 要么上溢，要么下溢。您所需要的只是一个不可代表的数字。
您可以在转换为 int 之前使用 round(number, Significant_figures)，我不记得在进行浮点到整数转换时是否 python 截断或舍入。
无论如何，由于 python 使用浮点运算，所有的陷阱都适用。见：
http://docs.python.org/2/tutorial/floatingpoint.html
【讨论】：
完全平方值没有小数部分，因此您主要担心的是非常大的值，对于这样的值，1 或 2 的差异很重要，这意味着您将需要一个支持如此高的特定数值库精度（正如 DSM 提到的，Decimal 库，自 Python 2.4 以来的标准，应该能够做你想做的事情，因为它支持任意精度。
【讨论】：
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+1。
Decimal('10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000').sqrt() Decimal('1.000000000000000000000000000E+35')
sqrt 是更容易实现的数学库函数之一，任何质量合理的数学库都会以忠实的舍入（亚 ULP 精度）来实现它。如果输入是一个完美的平方，它的平方根是可表示的（以合理的浮点格式）。在这种情况下，忠实的舍入可以保证结果是准确的。
这仅处理实际传递给sqrt 的值。是否可以将数字从另一种格式无错误地转换为sqrt 的浮点输入是一个单独的问题。
【讨论】：
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我认为你可以说一些更强有力的东西，即，对于合理的指数，
sqrt(x*x) == x因为(x+ulp/2)*(x+ulp/2)，这是sqrt开始给出错误值的地方，总是超过一个 ulp并且(x-ulp/2)*(x-ulp/2)比 ulp 更小，除非x在 2 的幂的几个 ulp 范围内。 -
@tmyklebu：这似乎是一个使用正确舍入的论点（误差最多为 1/2 ULP）。忠实四舍五入最多允许一个 ULP（不包括）。只要结果不能完全表示，就有可能返回两个值。所以你不能保证
sqrt(x*x) == x，除非x*x是准确的。 -
IEEE 不保证正确舍入的
sqrt？ （我知道 Python 可能没有理由关心 IEEE 所说的内容。但我从未见过数学库得到sqrt错误，所以，出于实际目的，我觉得依靠正确舍入的sqrt没问题并根据正确舍入的sqrt提出建议。我认为我的论点可能也适用于忠实舍入的sqrt，但还有更多的边缘情况，特别是在sqrt(2)周围，需要特别注意。） -
@tmyklebu：不。IEEE 754-2008 建议正确轮换
sqrt。它没有强制要求。而且，正如您所指出的，Python 不保证 IEEE 754。我可以肯定地说，您的论点不适用于忠实的四舍五入。给定任何x，如果sqrt(x*x)返回x，我可以将其替换为相同的sqrt，除了sqrt(x*x)返回忠实舍入允许的其他值（不同于x）。